| 研究課題/領域番号 |
20J01431
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| 研究機関 | 学習院大学 |
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研究代表者 |
片山 拓弥 学習院大学, 理学部, 特別研究員(PD)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-24 – 2023-03-31
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| キーワード | 曲面の写像類群 / 直角アルティン群 / バーチャル埋め込み / 擬等長埋め込み |
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| 研究実績の概要 |
2020年度、採用者はParis--Rolfsenによる曲面の円環型包含写像の研究を応用し、純ブレイド群の写像類群への埋め込みを新たに構成した。採用者の構成方法からは、ブレイド群全体には拡張しない純ブレイド群の埋め込みが得られることが分かった。Paris--Rolfsen及びBirman--Hildenによる既知の構成方法とこの構成方法、そして直角アルティン群の理論を援用し、与えられた曲面の写像類群に埋め込まれるような有限指数部分群をブレイド群が持つための必要十分条件を得た。直角アルティン群とは無関係とも考えられる群同士のバーチャル埋め込みの存在を、直角アルティン群を用いて広い範囲で判定できるという発見がこの結果の面白い点であると採用者は考えている。この結果についてはごく少数の特別な場合を除いて知られておらず、現在論文を執筆し公開前の最終チェックを行っている。
また、採用者は曲面の写像類群の間の擬等長埋め込みについても考察した。写像類群の有限指数部分群の埋め込みを構成する既知の方法として、上記の研究でも用いた曲面の包含写像から誘導するParis--Rolfsenの理論と、被覆写像から誘導するBirman--Hilden理論が知られている。曲面が向き付け可能な場合には、Masur--MinskyとRafi--Schleimerの結果により、どちらの構成方法から得られるバーチャル埋め込みも写像類群の擬等長埋め込みを誘導することが知られていた。採用者は大阪大学の久野恵理香氏との共同研究において、曲面が向き付け不可能な場合も同様に曲面の包含写像が写像類群の擬等長埋め込みを誘導すること、及び向き付け可能二重被覆が写像類群の擬等長埋め込みを誘導することを示した。これらの結果をまとめた論文を査読付き雑誌に投稿中である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
予定通りには研究成果の発表ができていないが、成果自体はほぼ予定した通り順調に出ている。研究成果の発表については次年度に予定しているだけであるため、おおむね順調に進展していると評価しても差し支えないと考えた。さらに言えば、向き付け不可能な曲面の写像類群の擬等長埋め込みについては当初予想していなかった結果を得ており、予定以上の成果があった。従って総合的に判断しておおむね順調に進展している、とした。
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| 今後の研究の推進方策 |
ブレイド群のバーチャル埋め込みに関しては、当初予定していたことがかなりの範囲で分かったと言える。しかしながら、一般の曲面の写像類群の間のバーチャル埋め込みに関しては必要十分条件の全貌はよくわからない。具体的には、1以上の種数の曲面の写像類群は種数0の曲面の写像類群に埋め込まれるような有限指数部分群を持つか、という問題がある。この問題を解くためには、採用者は写像類群の剰余的捩れなし冪零性の研究やCAT(0)性の研究が役に立つのではないかと考えている。
また、採用者が構成した新たな純ブレイド群の埋め込みが曲面の微分同相群の間の写像にリフトするか、という問題を考察するとよいと思われる。ブレイド群の既知の埋め込みは曲面の微分同相群の間の写像にリフトすることが知られているが、採用者の方法では曲面を非自明なやり方で関係付けているため、リフトの存在についても非自明である。さらに、擬等長埋め込みであるか否かも既存の研究から直ちには出ない。最終的には写像類群の間にバーチャル埋め込みが存在することと、擬等長埋め込みが存在することは同値であると予想しており、採用者の構成方法も擬等長埋め込みを誘導すると立場で研究を進める予定である。最近写像類群が準双曲的であることをHaettel―Hoda―PetytとDuhram―Minsky―Sistoが独立に証明しており、この結果を応用すれば、擬等長埋め込みであることを証明できる可能性が高いと考えている。
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