| 研究課題/領域番号 |
20J01431
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| 研究機関 | 学習院大学 |
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研究代表者 |
片山 拓弥 学習院大学, 理学部, 特別研究員(PD)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-24 – 2023-03-31
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| キーワード | 曲面の写像類群 / 有限指数部分群 / 単射準同型 / 直角アルティン群 / 擬等長埋め込み |
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| 研究実績の概要 |
2021年度、採用者は既に与えていたブレイド群から向き付け可能曲面の写像類群へのバーチャル埋め込みが存在するための必要十分条件を位相幾何学的観点からまとめた。Ivanov--McCarthyおよびShackletonの結果は、複雑性が等しく境界のない曲面のペアについては、それらの写像類群の間のバーチャル埋め込みは位相同型により誘導されることを主張する。一方採用者の結果は、複雑性が等しい境界付き曲面のペアで、それらは位相同型ではないが写像類群の間にバーチャル埋め込みが存在するという条件を満たすものを与えた。すなわち、曲面の境界の有無によって、写像類群の間のバーチャル埋め込みの様相は異なることが分かった。
また、採用者が定義した球面の擬円環拡大という特殊な包含写像は、ブレイド群から向き付け可能曲面の写像類群への擬等長埋め込みを誘導することを証明できた。これにより、ブレイド群から曲面の写像類群へのバーチャル埋め込みが存在するならば、そのペアの間には擬等長埋め込みが存在することが分かり、バーチャル埋め込みと擬等長埋め込みの関係の研究の進展が期待される。
また、採用者は大阪大学の久野恵理香氏との共同研究で、グラフから曲線複体へのフルな単射準同型が直角アルティン群から向き付け可能曲面の写像類群への単射準同型を誘導するというKoberdaの定理を、向き付け不可能な曲面の写像類群を含むように一般化した。ブレイド群から曲面の写像類群へのバーチャル埋め込みの研究において直角アルティン群の理論は本質的役割を果たしているので、向き付け不可能曲面の写像類群の間のバーチャル埋め込みに関する剛性についても同様の研究ができると思われる。ただし、向き付け不可能曲面の写像類群については、まずは単射準同型の研究を積み上げることが求められるだろう。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
採用者は与えられた向き付け可能曲面の写像類群のペアの間にバーチャル埋め込みが存在するか否かを決定しようとしている。バーチャル埋め込みの構成法が出揃っておらず、非存在を示す手法も不足していた申請前に比べれば現状は着実に進展したと言えるだろう。しかしながら、トーラスの写像類群については、バーチャル埋め込みの構成法か、または非存在を示す手法がまだまだ不足していると採用者は痛感する。種数の高い一般の向き付け可能曲面についてはさらに不足しているように思われる。従って非常に大きな研究余地が残されており、目標達成には程遠い地点にいると言える。
曲面の埋め込み、被覆、擬円環拡大から誘導される写像類群のバーチャル埋め込みが擬等長埋め込みであることから、ブレイド群から曲面の写像類群への擬等長埋め込みの存在を調べるためには、バーチャル埋め込みが存在しないと仮定して擬等長埋め込みが存在するかという問題を考察するのみとなった。これは順調な進展であると思う。
向き付け不可能曲面の写像類群に含まれる直角アルティン群に関する結果は当初の計画にはなかったが、本研究の延長線上にあり、向き付け不可能曲面の写像類群のバーチャル埋め込みに関する応用を見込むことができるので計画以上の進展と言えると思う。
以上により、総合的に判断しておおむね順調に進展しているとした。
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| 今後の研究の推進方策 |
種数1以上の曲面の写像類群は種数0の曲面の写像類群に埋め込まれるような有限指数部分群を持つか、という問題に引き続き取り組む。この問題を解くために2021年度は写像類群の剰余的捩れなし冪零群の研究やCAT(0)空間の研究を応用しようとしたが、結局別の難しい問題が出てくることが分かった。このような迂回策を続けて考察することにする。うまく行かなければ、種数1以上の曲面の写像類群と球面の写像類群との差を調べるためにコホモロジー理論的アプローチにも取り組みたい。
また、曲面の写像類群のバーチャル埋め込みをより精緻に理解するために、ブレイド群の勝手なバーチャル埋め込みが既知のバーチャル埋め込みから誘導されるかを曲面上の本質的単純閉曲線族を使って検討する。
さらに、特殊な直角アルティン群から曲面の写像類群への擬等長埋め込みが存在するならば、単射準同型も存在するかを調べる。この研究を利用して曲面の写像類群の間のバーチャル埋め込みと擬等長埋め込みの関係を追求したい。
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