| 研究課題/領域番号 |
20J20055
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| 研究機関 | 大阪大学 |
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研究代表者 |
赤池 広都 大阪大学, 理学研究科, 特別研究員(DC1)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-24 – 2023-03-31
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| キーワード | ファイバー曲面 / 代数ファイバー空間 / 相対不変量 / 分岐被覆 / 自己同型群 / スロープ |
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| 研究実績の概要 |
巡回被覆ファイバー曲面の自己同型群の位数の評価を行なった。
一つ目は、線織面上の巡回被覆ファイバー曲面についてである。これは、2019年度からの続行である。本研究では、相対標準因子の自己交点数という相対不変量を、局所的な量で評価することが重要であった。この議論を見直し、場合分けも新しく組み直して、評価を大幅に改善することに成功した。底が射影直線の場合には、より良い評価を与えた。この場合において、評価に極めて近い位数の自己同型群を持つ例を構成できた。
二つ目は、楕円曲面上の巡回被覆ファイバー曲面である。これは、昨年度からの続行である。昨年度の時点では、(被覆)ファイバー曲面が半安定という仮定のもとで、位数の評価を与えていた。本年度の研究により、半安定という仮定を外して評価することができた。これは、次の二つに由来する。一つは、巡回被覆ファイバー曲面の自己同型が誘導する楕円曲面上の自己同型が、任意の非重複特異ファイバーへどう作用するかを解析できたこと。もう一つは、誘導される楕円曲面の自己同型の重複ファイバーへの作用を、底変換により非重複特異ファイバーへ持ち上げることで、半安定な特異ファイバーへの作用の解析に帰着できたこと。
巡回被覆構造を持つ3次元ファイバー多様体に関して、その被覆次数と相対不変量の関係を研究している。本年度は、いくつかの仮定の下で、一般ファイバーの標準因子とHarder-Narasimhanフィルトレーション由来の因子の交点数を、被覆次数のデータを含めた式で評価した。これは目標達成までのステップの一つであり、進展があったと言える。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
楕円曲面上の巡回被覆ファイバー曲面の自己同型群の位数に関する研究を前年度から行なっていた。本年度の研究により、ファイバー曲面が半安定という仮定を外して、自己同型群の位数を評価できた。これは本年度の目標の一つであり、達成することができた。
曲線上の3次元代数ファイバー空間に関しては、スロープを被覆次数やファイバーの数値不変量などの関数で評価することを目標としている。本年度の研究では、昨年度から方針を変更したことにより、目標達成までの重要なステップを一つクリアすることができた。従って進展があったといえる。
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| 今後の研究の推進方策 |
3次元代数ファイバー空間に関して、被覆次数を用いたスロープ不等式に関する研究の達成を目指す。ファイバー曲面における先行研究を参考にし、研究に取り組む。本年度までの研究により、代数ファイバー空間に非特異性といった良い仮定をした上で、目標への重要なステップの一つを達成できた。同様の仮定のもとで残りのステップを達成し、スロープ不等式を導出する。その後、仮定を外した上でスロープ不等式の確立を目指す。具体的に、達成すべきステップを述べる。双相対標準層の底空間上で相対的な線形系を考える。Harder-Narasimhan フィルトレーションが部分線形系の列を与える。この列に由来する量及び被覆次数を用いて、代数ファイバー空間の相対数値不変量を下から評価することを目指す。
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