| 研究課題/領域番号 |
20K03508
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| 研究機関 | 新潟大学 |
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研究代表者 |
張間 忠人 新潟大学, 人文社会科学系, 教授 (30258313)
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| 研究分担者 |
和地 輝仁 北海道教育大学, 教育学部, 教授 (30337018)
五十川 読 熊本高等専門学校, リベラルアーツ系理数グループ, 教授 (80223056)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | レフシェッツ性 / 完全交叉環 / 多項式で生成されるアルチンゴレンスタイン次数環 / 概均質ベクトル空間 / 中心単純加群 / 高階弱レフシェッツ性 / Specht ideal / Principal radical system |
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| 研究実績の概要 |
研究代表者の張間は、べき乗和多項式で生成される完全交叉環の中心単純加群のレフシェッツ性について考察し、次数が連続する場合については、その構造が明らかになりつつある。
研究分担者の和地氏は、アルチンゴレンスタイン次数付き環のレフシェッツ性について研究を行った。アルチンゴレンスタイン次数付き環は、必ず多項式から生成されることが知られているが、その多項式として、概均質ベクトル空間の相対不変式を選んだ場合について、主に研究を行った。特に、多項式が行列式等である場合、レフシェッツ性を持つことを、概均質ベクトル空間の理論や、リー代数の表現論の手法も用いて示せた。
研究分担者の五十川氏は、ユニモーダルなヒルベルト関数を持つ、長さ有限の次数付き加群に対して、重み付きヒルベルト級数および仮想重み付きヒルベルト級数を定義し、これらを用いて、ヒルベルト関数が対称な場合に加群が強レフシェッツ性を持つことの特徴づけを行った。その応用として、テンサー積で強レフシェッツ性が保たれることの別証明を得た。また、弱レフシェッツ階数を導入し、重み付きヒルベルト級数を利用して階数が計算できることを示した。
標数０の体上で、対称群の既約表現とヤング図形の間に１対１の対応がある。また、ヤング図形から、Spechtイデアルが自然に定義される。Spechtイデアルの被約閉包のCM性は、MITのPavel Etingofによって、幾何的に証明されているのだが、その証明は、可換環論の専門家には極めて難解である。研究協力者の渡辺氏は、柳川氏との共同研究により、フック型のヤング図形に対応するSpechtイデアルのCM性の証明を得た。また、C. McDaniel氏との共同研究で、２行からなるヤング図形に対応するSpechtイデアルのCM性を証明を得た。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
和地氏の研究では、「多項式で生成されるアルチンゴレンスタイン次数付き環のある系列について、レフシェッツ性を持つことが示せたこと」、渡辺氏の研究では、McDaniel氏との共同研究で「SpechtイデアルのCM性は実は、単項式完全交叉環の強いレフシェッツ性と関連しており、基礎体の標数に依存すること」を明らかにし、また、「1971年にHochster とEagonによって導入された，principal radical sytem がSpechtイデアルの族に適用されること」を示し、ふたりの研究は順調に進展している。一方で、張間は、学内の仕事が忙しく十分に時間が取れなかったことから、遅れている。五十川氏も、コロナ禍のため対応に追われて、研究打合せを実施する余裕がなく、得られた結果を論文にまとめることもできなかったので、遅れている。その結果、全体としては「やや遅れている」と判断した。
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| 今後の研究の推進方策 |
張間は、引き続き、べき乗和多項式で生成される完全交叉環の中心単純加群のレフシェッツ性について研究を行う。
和地氏は、引き続き、多項式で生成されるアルチンゴレンスタイン次数付き環のレフシェッツ性について研究を行う。概均質ベクトル空間、リー代数の表現論、組合せ論との関連が深いため、これらの知見を活用する。また、新型コロナの状況にもよるが、研究打合せや学会等での発表を行い、着実な研究の推進を行う。
五十川氏は、高階弱レフシェッツ性と中心単純加群との関係を現在検討中の弱レフシェッツオーダーや重み付きヒルベルト級数を用いて調べる。また、遠隔で研究打合せを実施し、現在までに得られた結果をまとめて論文にする。
渡辺氏は、Spechtイデアルの被約性とCM性をヤング図形の形に制限を付けず証明する。また、Principal radical systemの新しい定義に基づいて、行列式イデアルの被約性を証明する。Equivariant coinvariant algebra とSpechtイデアルの関連を解明する。そして、2021年9月に予定されているOberwolfachにおける研究会（Zoomによる計画だが、場合により，実際の会議もあり得る）に参加して、現在までに得られた成果を発表し意見交換する。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
新型コロナウィルスの影響で、国内出張が困難で、国外出張は不可能な状況であったため、各種の研究集会へ現地参加することができなかった。そのため、研究費のうち大きな割合を予定していた旅費の支出がまったくできなかった。このため、研究費の次年度使用がやむを得ず生じた。現状では研究発表や研究打合せのための出張の目途はたっていない。今後も新型コロナウィルスの感染状況に左右され、研究費の使い方も大きく変更せざるを得ないかもしれない。
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