| 研究課題/領域番号 |
20K03530
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
桂 利行 東京大学, 大学院数理科学研究科, 特任教授 (40108444)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | 代数曲線 / Jacobi多様体 / Richelot isogeny / アーベル曲面 / Coble曲面 / Enriques曲面 / 自己同型群 / 有理曲面 |
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| 研究実績の概要 |
高島克幸との共同研究として、種数２の代数曲線のRichelot isogenyの研究を行なった。種数２の代数曲線CのJacobi多様体(J(C), C)は2次元の主偏極アーベル曲面であるが、これに対し主偏極アーベル多様体(A, D)とJ(C)からAへのisogeny fが存在してf^*D = 2Cとなるとき、fをRichelot isogenyといい、偏極Dが２つの楕円曲線の和に分解する時、fをdecomposed Richelot isogenyという。Cがsuperspecialなものの数は有限であり、その数を標数pの関数として具体的に表示することは代表者の論文で既に知られていた。本研究では、superspecialな種数2の代数曲線のRichelot isogenyの数が同型を除いて何個あるかをpの関数として具体的に求めた。また、そのうちdecomposedなものが何個あるかということも、pの具体的な関数として求めた。なお、superspecialな代数曲線はポスト量子暗号の理論にIsogeny暗号として用いられている。また、研究協力者金銅誠之との共同研究で標数2のK3型のCoble曲面の構造を研究した。Coble曲面はEnriques曲面の退化として現れる有理曲面であるが、標数２の場合その構造はclassical Enriques曲面と類似している。本年度はconductrixの構造と標準被覆の構造を解析し、その結果を用いて自己同型が有限のCoble曲面の分類を行なった。分類はCoble-Mukai格子を用いてnordal曲線のconfigurationによって行なっており、自己同型が有限のclassical Enriques曲面と類似する分類結果が得られたが、論文作成は次年度への持ち越しとなっている。各類に属する曲面の存在とそのモジュライ数も決定しつつある。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
申請した経費は共同研究者との研究打ち合わせや国際会議出席のための旅費であったが、コロナの影響で訪問や招聘をして対面で共同研究することができず、e-mailやオンラインを用いて連絡を取り合ったが限界があった。研究協力者金銅誠之とのEnriques曲面の延長線上にあるCoble曲面に関する共同研究に関しては、オンラインによる共同研究によって、そのconductrixの構造の解明や標準被覆の性質の解明を行い、自己同型が有限の場合の分類理論が一定のレベルまで達したが、論文作成作業は次年度への持ち越しになった。また、海外の大学を訪問できず、海外の共同研究者であるM. Schuettと現在進行中の共同研究は、互いの研究成果をe-mailによって成果を交換して連絡しあった段階からほとんど進まなかった。ただ、Calabi多様体は標準因子が自明な多様体であるが、それに属する種数2の代数曲線のJacobi多様体のRichelot isogenyに関する結果が完成し、論文がNeuzeelandで行われた国際会議(コロナの影響でZoomによる会議)のProceedingsに受理されたことは思いがけない成果であった（電子版は既に出版された）。しかし、旅費がほとんど執行できず、共同研究が滞ったので(3)にした。
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| 今後の研究の推進方策 |
次年度の最優先の研究は標数2のCoble曲面である。この研究は、研究協力者金銅誠之との共同研究として進んでいるが、自己同型有限のCoble曲面の分類を完成させる。分類の格子はほぼできているので、各類に属する曲面の例の構成を完全なものにして論文にまとめあげ出版すると共に、この結果を関連する研究集会や国際会議で発表する。Richelot isogenyについては、種数3のdecomposedなRichelot isogenyの特徴づけについてすでに論文にまとめたが、このrevised versionを作成し出版する。有限自己同型を持つEnriques曲面のモジュライの決定については、海外研究協力者のM. Schuettとの研究が互いの研究ノートを交換した段階で途中で止まっているので、ドイツを訪問することができれば綿密な討論を行うことにより完成させたい。これらが決着したのちにはquasi-elliptic曲面の標準因子束の構造の解析や正標数のK3曲面・Calabi-Yau多様体の未解決問題に取り掛かりたい。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
申請した経費は大部分が研究遂行のための旅費であったが、コロナの影響で、海外研究協力者を訪問して研究を進めることが全くできず、国内の大学も外部の研究者の入構が難しく、訪問や招聘に支障をきたしたため旅費を執行することがまったくできなかった。研究集会や国際会議もすべてオンラインで行われたため、研究発表の旅費の執行も全くできなかった。コロナが収まるまではこのような状態が続くと思われ、共同研究についてはオンラインでは限界があるが当面はオンラインでできる限りの研究を進め、移動が多少とも可能になった段階で、研究の詳細をつめて研究の完成を図るという方針で研究を推し進める。
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