2020 年度実施状況報告書

簡約代数群とその被覆群のエンドスコピーの研究

研究課題

研究課題/領域番号	20K03534
研究機関	京都大学
研究代表者	平賀郁京都大学, 理学研究科, 講師 (10260605)
研究期間 (年度)	2020-04-01 – 2024-03-31
キーワード	エンドスコピー / 簡約代数群の被覆群
研究実績の概要	現在、分裂していない簡約代数群の被覆群のエンドスコピーについては、一般にはエンドスコピーの理論が存在するかどうかも分かっていない。そのため、本研究では簡単な群の場合から研究を行うこととし、令和2年度は GL(2) の内部形式である四元数体の乗法群の偶数次の被覆群のエンドスコピーについて研究を行った。これまでの研究代表者の研究により、この群についてはエンドスコピー群の候補は推定できていたのだが、エンドスコピーの理論において重要な移送因子の定義に問題が残っており、いまのところ完全には定義ができていない。ただし、研究代表者の研究により、エンドスコピー群と関係する特別な被覆群の構造に問題が帰着されるであろうことまでは分かっていた。この特別な被覆群の構造については、局所的な構造と大域的な構造の両方を研究する必要があるが、本研究では、まず局所的な構造の研究を行うこととし、令和2年度は、局所的なもののうちでも比較的構造が研究しやすいと期待されるものを対象に研究を行った。具体的には、剰余標数 p が奇素数の p-進体上で定義された分裂していない四元数体の乗法群の被覆群で、群が不分岐な二次拡大と関係して定義されているものの構造について研究を行い、この特別な被覆群が実質的に分裂していることを示し、加えて分裂を定める写像を具体的に構成した。この研究結果は研究代表者のこれまでの研究から予想されたものと一致しており、この研究により、この場合には局所的な移送因子の定義が可能になった。また、この成果は、現在存在するかどうか分かっていない四元数体の乗法群の偶数次の被覆群のエンドスコピーの理論の存在を示唆するものとなっている。
現在までの達成度 (区分)	現在までの達成度 (区分) 2: おおむね順調に進展している理由研究代表者は、これまでも四元数体の乗法群の偶数次の被覆群のエンドスコピーについて研究を行ってきたが、この場合はこれまで研究されてきたことがほとんど無かったこともあり、研究がなかなか進まない状況であった。特に、エンドスコピーの理論において重要な移送因子の定義に関わるところに難点があり、ここの研究を進展させることが課題となっていた。しかし、本研究課題の遂行の前に、研究代表者は問題を特別な被覆群の構造に帰着させることができることを見出し、本研究課題において最初に取り組むべき研究として、この特別な被覆群の構造を選んだ。令和2年度は、比較的構造が簡単であると思われる場合に限ってではあるが、この特別な被覆群が本質的に分裂することを示し、分裂を定める写像も具体的に与えることができた。今後、全ての局所的な構造と大域的な構造を研究していく必要があるが、本研究課題の初年度としてはおおむね順調に進展しているのではないかと考える。
今後の研究の推進方策	令和2年度は、比較的構造が簡単であると思われる場合に、特別な被覆群の構造を決定することができたので、令和3年度はそれ以外の場合に特別な被覆群の構造を研究する予定である。特に剰余標数が2の場合に特別な被覆群の構造を研究することを考えている。また、四元数体の乗法群の偶数次の被覆群のエンドスコピーを研究する為には、この被覆群の構造を大域的にも研究する必要がある為、局所的な構造の研究が進展したのちには、大域的な構造の研究を進める予定である。これらの研究により移送因子の定義ができるようになれば、四元数体の乗法群の偶数次の被覆群のエンドスコピー的持ち上げやノルム1の部分群の偶数次の被覆群のエンドスコピーについて研究を行う予定である。一方で、分裂するとは限らない一般の簡約代数群の被覆群のエンドスコピーについて理解するには、他の簡約代数群の被覆群のエンドスコピーについても研究する必要がある。四元数体の乗法群の場合の研究が進展すれば、一般の場合の理解の為に、もうすこし大きな簡約代数群、例えば、n が3以上の GL(n) の内部形式の被覆群のエンドスコピーについて研究を進めていく計画である。現在のところは、特に n が3、4、6の場合が興味深いのではないかと期待しているが、研究の進展により理解が進んでいけば、他の簡約代数群の被覆群についても研究を行うことを考えている。また、研究の進展状況によっては、これらの群の保形表現と関係した不変量についても研究を行っていくことを考えている。
次年度使用額が生じた理由	当該年度は、国内外の研究集会等が休止やオンラインとなり、予定変更が必要となった。次年度も当該年度に引き続き四元数体の乗法群の偶数次の被覆群のエンドスコピーについて研究を行う予定にしており、翌年度分として請求した助成金と合わせて、研究に必要な文献の購入やパソコン環境の整備や研究集会等が再開された場合には旅費として使用する予定である。