• 研究課題をさがす
  • 研究者をさがす
  • KAKENの使い方
  1. 課題ページに戻る

2020 年度 実施状況報告書

整閉包の理論の新展開と局所環論への応用

研究課題

研究課題/領域番号 20K03535
研究機関岡山大学

研究代表者

早坂 太  岡山大学, 環境生命科学研究科, 准教授 (20409460)

研究期間 (年度) 2020-04-01 – 2023-03-31
キーワード正則局所環 / 整閉イデアル / 整閉加群 / 直既約加群
研究実績の概要

2020年度は、2次元正則局所環上の直既約整閉加群の存在に関する研究を行い、整閉単項式イデアルに付随する直既約整閉加群で任意階数のものを具体的かつ大量に構成した。Zariskiによって創始された2次元正則局所環の整閉イデアルの理論は、Kodiyalamによって整閉加群の理論に拡張(高階数化)された。Kodiyalamは、整閉単純イデアルに付随する任意階数の直既約整閉加群の存在を示して、この拡張(高階数化)が非自明なものであることを明らかにした。そして「直既約整閉加群に付随する整閉イデアルは単純か?」という問いを提出した。この問いは、研究代表者によって階数2の場合に否定的に解決されていたが、階数3以上では未解決であった。階数2の場合の構成法は、与えられた整閉単項式イデアルの単純成分に着目し、現れる成分ごとに具体的な直既約整閉加群を考えるものであった。そこで、この構成法の単純化に取り組み、「直既約でない整閉加群の構造定理」および「整閉加群と付随するイデアルのcolengthに関する不等式」を得て、「(単純とは限らない)整閉単項式イデアルに付随する任意階数の直既約整閉加群の具体的構成」に成功した。これにより、2次元正則局所環上の直既約整閉加群は、任意階数において予想よりもはるかに多様に存在することがわかった。これは、Kodiyalamが展開した整閉加群の理論の非自明性を強化するとともに、(単項式イデアルとは限らない)整閉イデアルに付随する直既約整閉加群の遍在性を示唆するものである。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

課題のひとつであった「直既約整閉加群の遍在性の解明」について、単項式イデアルの場合に期待していた結果が、予想よりもはるかに単純な形で得られた。この成果は論文としてまとめ雑誌に投稿予定である。また、この過程で得られた整閉加群に関する構造定理は、正則という仮定を弱めても正しい主張で、もう一つの課題である「2次元正規局所整域上の整閉加群の研究」への応用が期待される。

今後の研究の推進方策

引き続き、直既約整閉加群の遍在性に関する研究を行う。これまでに得られた具体的構成法を手掛かりに、一般の(単項式イデアルとは限らない)整閉イデアルに付随する直既約整閉加群の存在(構成法)を明らかにしたい。研究は、もう一つの課題である「2次元正規局所整域上の整閉加群の研究」も念頭に進める。

次年度使用額が生じた理由

新型コロナウイルスの感染拡大の影響で参加を予定していた研究集会等が中止になり、そのための旅費を繰り越した。これは次年度における旅費およびオンライン研究環境の整備に使用する計画である。

  • 研究成果

    (2件)

すべて 2020

すべて 雑誌論文 (1件) (うち査読あり 1件) 学会発表 (1件) (うち招待講演 1件)

  • [雑誌論文] Constructing indecomposable integrally closed modules over a two-dimensional regular local ring2020

    • 著者名/発表者名
      Hayasaka Futoshi
    • 雑誌名

      Journal of Algebra

      巻: 556 ページ: 879~907

    • DOI

      10.1016/j.jalgebra.2020.03.029

    • 査読あり
  • [学会発表] 単項式イデアルに付随する高階数直既約整閉加群2020

    • 著者名/発表者名
      早坂太
    • 学会等名
      可換環論オンラインワークショップ
    • 招待講演

URL: 

公開日: 2021-12-27  

サービス概要 検索マニュアル よくある質問 お知らせ 利用規程 科研費による研究の帰属

Powered by NII kakenhi