代数多様体の射の視点からのヒルベルトスキームの研究

2022 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 20K03541
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 審査区分: 小区分11010:代数学関連
• 研究機関: 東海大学
• 研究代表者: 那須 弘和 東海大学, 理学部, 教授 (30535331)
• 研究期間 (年度): 2020-04-01 – 2023-03-31
• キーワード: ヒルベルトスキーム / 変形障害 / 空間曲線 / del Pezzo曲面 / エンリケス曲面 / エンリケス・ファノ多様体 / 変形理論

研究成果の概要

主な研究成果の概要は以下のとおりである：
(1) 非特異Fano三様体上の曲線のヒルベルトスキームに対し、多様体上の楕円曲線を用いて、生成的に被約でない既約成分を持つための新たな十分条件を与えた。 (2) 3次元多様体上の曲線の変形障害に関する研究を発展させ、報告者の以前の結果の誤りを修正すると同時に、向井・那須の判定法の新たな一般化を得た。(3) 空間曲線のヒルベルトスキームに関するKleppe-Ellia予想を3-極大族の一般元が2次的正規という条件のもとで証明した。

自由記述の分野

代数幾何学

研究成果の学術的意義や社会的意義

空間曲線は19世紀末から研究されている代数幾何学における古典的研究対象の一つである。中でも非特異3次曲面に含まれる曲線は、同曲面の持つ美しい性質(射影平面の6点爆発と同型でE_6型の対称性をもつ)により詳しく研究されてきた。未解決予想の一つとしてKleppe-Ellia予想がある。本予想は空間曲線のヒルベルトスキームの非被約成分に関する予想として提起されたが、本質的には同スキームの次元に関する予想と捉えることが可能である。解決のためには接空間の次元が大きい場合にスキームの次元を決定するという技術的困難が伴う。この困難を克服するために変形障害の理論を発展させ、障害類の計算技術が向上した。