| 研究課題/領域番号 |
20K03543
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| 研究機関 | 東京電機大学 |
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研究代表者 |
池田 京司 東京電機大学, 工学部, 教授 (40397617)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| キーワード | プリム多様体 / 分岐被覆 / ガウス写像 / 周期行列 / テータ関数 |
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| 研究実績の概要 |
代数曲線の分岐被覆に対し、プリム多様体と呼ばれる偏極アーベル多様体が定義される。令和３年度はプリム多様体とそのテータ因子の組から、代数曲線の２重被覆が復元できることを証明した。また、令和２年度に引き続き、偏極アーベル多様体の周期行列において、楕円曲線の２重被覆のプリム多様体の周期行列を特徴づける研究を進めた。
代数曲線の分岐被覆を復元する研究においては、プリム多様体とその上の豊富直線束の数値的同値類から代数曲線の分岐被覆を復元することが、本研究の最終的な課題の一つとなっているが、令和３年度の研究ではプリム多様体の豊富直線束が定める線形系の中から特定の因子を与えることにより、代数曲線の分岐被覆を復元するという弱い結果になっている。与えた特定の因子のガウス写像の分岐因子は射影空間の超曲面となるが、その既約成分の一つの射影双対が元の代数曲線となり、残りの既約成分の射影双対が分岐点の情報を復元することを示した。この内容について、令和３年度に実施された城崎代数幾何学シンポジウムにおいて研究発表を行い、報告集に研究結果をまとめた。
楕円曲線の２重被覆のプリム多様体の周期行列の特徴づけに関する研究では、前年度までに、多くのテータ定数が零になることよって特徴づけが可能ではないかという見通しを立てていた。実際に超楕円曲線の周期行列を特徴づけたMumfordによる古典的な結果の手法に倣い、引き続きこの研究を進めた。その過程で、Beauvilleによるスペクトル曲線に関するハミルトン可積分系の構成を拡張する必要があると考え、令和３年度からこの課題に取り組み理論の整備を行っているが、現時点では周期行列の特徴づけに応用できる成果にまでは至っていない。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
令和２年度から令和４年度までは、代数曲線の分岐２重被覆についてプリム写像の単射性とプリム写像の像の特徴づけについての研究を進めることを計画しており、プリム写像の単射性については、弱い形ではあるが結果を得ることができている。しかし、代数曲線の２重被覆のプリム多様体の周期行列の特徴づけの問題については令和３年度の段階で証明を完成させることができていない。
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| 今後の研究の推進方策 |
令和４年度は、偏極アーベル多様体のより幾何的な性質によって、代数曲線の分岐被覆のプリム多様体を特徴づける研究に取り組む。代数曲線の分岐被覆のプリム多様体のテータ因子の特異点や、プリム多様体の代数的サイクルが、一般の偏極アーベル多様体のテータ因子とは異なる特徴を有することを示す。これにより、前年度までに出来なかった楕円曲線の２重被覆のプリム多様体の周期行列の特徴づけに新しいアイデアを見つけ出し、進捗が遅れている課題の解決にアプローチする。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
令和３年度は前年度に引き続き感染症流行の影響で、各地で開催される見込みであった研究集会がオンライン開催または中止となり、使用予定であった旅費の支出がなかったため次年度使用額が生じた。令和４年度以降はいくつかの研究集会の現地での開催が予定されており、そのための出張旅費や、資料の購入に使用を予定している。
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