ホップ・ガロア理論のスーパー幾何学への応用

2023 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 20K03552
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 審査区分: 小区分11010:代数学関連
• 研究機関: 筑波大学
• 研究代表者: 増岡 彰 筑波大学, 数理物質系, 教授 (50229366)
• 研究期間 (年度): 2020-04-01 – 2024-03-31
• キーワード: スーパー対称性 / ホップ・ガロア理論 / スーパー群スキーム / スーパー・リー群 / デサント / トーサー

研究成果の概要

近年、物理学におけるスーパー・ストリング理論のインパクトから、数学におけるスーパー幾何学が注目を集めている。本研究は、ホップ・ガロア拡大ーすなわち代数幾何学におけるtorsorの非可換アナログーの理論を、可換と非可換の中間に位置する「スーパー可換」のコンテクストに応用するものである。
スーパー代数群の構に関する基本的な研究成果を得て、それらに基づきスーパーtorsorの構造を明らかにした。期待していた、スーパー・シンメトリック微分ガロア理論を構築する準備ができたと言える。

自由記述の分野

代数学

研究成果の学術的意義や社会的意義

スーパー幾何学においては、1970年代に本格的な研究が始まって以来、主に微分幾何学的方法が用いられ、代数（幾何）学的方法の開発は遅れていたように思われる。本研究は、この遅れを取り戻すことにわずかでも貢献できたと思う。リー群が定義のうちに順滑性を仮定するのに比して、群スキームの定義がそれを仮定しないという点から見て、後者の取り扱いの方がより難しいと思われがちであるが、少なくともスーパー対称性のコンテクストにおいては、そうとも限らない。代数学の自由な発想で得たスーパー群スキームに関する結果の類似をたどることで、スーパー・リー群に関する新事実を知るという貴重な経験をした。