| 研究課題/領域番号 |
20K03563
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| 研究機関 | 工学院大学 |
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研究代表者 |
森澤 貴之 工学院大学, 教育推進機構, 准教授 (50724374)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | 類数 / 単数 |
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| 研究実績の概要 |
令和３年度、研究代表者は以下の研究を行った。
１）ｐを素数とする。本研究課題において扱う無限次代数体の中で、有理数体上の円分的Z_p-拡大体を考える。この有理数体上の円分的Z_p-拡大体の無限個の中間体のイデアル類群に注目して研究を行った。有理数体上の実アーベル拡大体のイデアル類群の位数はその単数群と円単数群の商群の位数と関連があることが知られているため、単数群の構造を調べることはイデアル類群の位数を調べることにつながる。そこで、この単数群の構造を深く調べるために、単数群の部分群である相対単数群を考える。さらに、この相対単数群に対し、合同式から定まる部分群列と、ガロア作用から定まる部分群列の２つの異なる部分群列を定義し、それらの部分群列に関してある種の等式が成り立つことを示した。
２）ｐを素数とし、ｍを平方因子をもたない２以上の整数とする。本研究課題において扱う無限次代数体の中で、有理数体にｍの平方根を添加して得られる実二次体の円分的Z_p-拡大体を考える。この実二次体の円分的Z_p-拡大体の無限個の中間体のイデアル類群に注目して研究を行った。この場合においてもイデアル類群の位数は単数群と円単数群の商群の位数と関係している。そのため、相対単数群を調べることでイデアル類群の情報を得ることができる。実二次体の円分的Z_p-拡大体の無限個の中間体の相対単数群についても、上述の２つの部分群列の間の等式が成り立つことが期待されるため、その方針で研究を進めている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
素数ｐに対し、有理数体上の円分的Z_p-拡大体の無限個の中間体の相対単数群について、その構造を深く記述することができた。これによりイデアル類群の位数に関する情報も得られた。また、この研究成果は、その他の実アーベル体上の円分的Z_p-拡大体の相対単数及びイデアル類群の場合への拡張が期待される。
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| 今後の研究の推進方策 |
ｐを素数とし、ｍを平方因子をもたない２以上の整数とする。引き続き、有理数体にｍの平方根を添加して得られる実二次体の円分的Z_p-拡大体の無限個の中間体のイデアル類群に関し、相対単数群の部分群列に注目して研究を行っていく。
また、実二次体の場合に結果を拡張できた後には、実アーベル体上の円分的Z_p-拡大体の無限個の中間体のイデアル類群の場合への一般化を行う。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
申請当初に予定していた出張を行うことができなかったため、次年度使用額が生じた。
コロナの感染状況を見ながら、可能な範囲で積極的に旅費として用いたいと考えている。
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