モチーフの実現関手と周期積分の応用

2020 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 20K03567
• 研究機関: 法政大学
• 研究代表者: 寺杣 友秀 法政大学, 理工学部, 教授 (50192654)
• 研究期間 (年度): 2020-04-01 – 2023-03-31
• キーワード: ホッジ予想 / モジュライ空間 / 代数的サイクル

研究実績の概要

アーベル多様体におけるホッジ予想においてヴェイユのホッジサイクルの代数性は大きな課題の一つである。ヴェイユの提出した例を一般のCM体に関するユニタリ群の場合に拡張したものを考える方が統一的に扱いやすい。この一般化が解決されると、CMタイプのアーベル多様体のホッジ予想が解決されることがしられている。このように一般化されたヴェイユホッジサイクルのなかでも数論的に興味深いのは考えているCM体が円分体の場合である。
CM体の場合に一般化されたヴェイユホッジ予想が示されれば、フェルマー多様体のホッジ予想や4次元のすべてのアーベル多様体についてのホッジ予想がしたがう。
ホッジサイクルの研究には代数的対応を考えることで系統的に考えることができ、都合がよい。これまで種々のヴェイユホッジサイクルの代数性がしられてきたが、これらはモジュライ空間の次元で考えると非常に限られた範囲であった。
本年度の研究で、曲線の被覆、そのヤコビアン、アーベル多様体の変形を考えることにより、新しい代数的サイクルが見つかった。これは円分体のヴェイユホッジサイクルを考える上で非常に重要な役割をもつものと期待している。

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

いままで懸案としていたヴェイユホッジサイクルの構成にやや進展があった。アーベル多様体の部分多様体を構成する基本的な技術として、対称積やその一般化が考えられていたが、これらと部分アーベル多様体の交叉を考えることにより、いくつかの成分に分解する現象を利用して、新しい部分多様体を構成することに成功した。さらにこの様にして得られる多様体のアーベル・ガウス写像を考えることにより、交叉部分が退化しないことを保証できる。現在論文にまとめているところである。

今後の研究の推進方策

多重ゼータ値の深さフィルトレーションに関するブロードハーストクライマー予想へのホモトピー代数的アプローチをこれまでに提唱したが、完成させることを目標とする。これまで全体的な枠組みで考察していたところを、深さフィルトレーションに一番効いてくる最高重さ部分を取り出す操作を組み合わせる。さらに関連するスペクトル系列の退化を数値的に検証する。数値的検証については、久賀志村多様体の退化極限ファイバーに関する情報を詳しく見ることが重要と思われる。

次年度使用額が生じた理由

計画していた研究集会がコロナ禍で中止、あるいはオンライン開催となり、計画していた出張旅費に未使用額が生じた。次年度は周期積分、代数的サイクルに関する共同研究を対面で実施する予定である。