| 研究課題/領域番号 |
20K03576
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| 研究機関 | 茨城大学 |
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研究代表者 |
入江 博 茨城大学, 理工学研究科(理学野), 准教授 (30385489)
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| 研究分担者 |
柴田 将敬 東京工業大学, 理学院, 助教 (90359688)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | 幾何学 / 凸体 / 極凸体 / Mahler予想 / Mahler体積 |
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| 研究実績の概要 |
１．前研究課題（16K05120）において、ユークリッド空間の中心対称な凸体とその極凸体の体積の積（Mahler体積）の下からの評価に関するMahler予想と呼ばれる古典的な未解決問題に取り組み、３次元の場合を解決した。この３次元Mahler予想の証明のために導入した、凸体のMahler体積（volume product）の「符号付体積評価」の方法を拡充し、Mahler予想の枠組みを離散群作用つきの場合に拡張した問題を考察した。特に、令和元年度から着手していた３次元の場合、３次直交群の離散部分群の作用をもつ凸体のMahler体積の下からの最良評価と等号成立条件が、先行研究に含まれないいくつかの系列で得られていた。令和２年度は、この研究についての細部の議論を完成させ、プレプリント（arXiv:2007.08736）を公表した。現在論文を投稿中である。Mahler予想において、凸体に中心対称性を仮定しない一般の場合の予想もよく知られている。本研究の帰結として、この一般の予想についても３次元の場合に、凸体が４次の交代群の作用を持てば原点を重心とする正四面体のときMahler体積が最小になる、という新しい部分的解答が得られた。以上は、研究分担者である柴田将敬氏（東京工業大学）との共同研究である。
２．３次元Mahler予想を解決した柴田将敬氏との共著論文が令和２年度に出版されたが、その内容について、第６７回幾何学シンポジウムにおいて基調講演を行った。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
4: 遅れている
理由
令和２年度は、新型コロナウイルス感染症の拡大のために、研究分担者の柴田将敬氏（東京工業大学）と月に２回予定していた、お互いの研究機関を訪問しての直接の議論を中断することを余儀なくされた。代わりにオンライン会議システムZoomを用いて最低限の研究に関する議論を行ったが、やはり対面で行う議論に比べて困難があり、研究の進捗状況に少なからず影響があった。特に、研究情報収集のための国内および海外出張ができず、課題の進捗が遅れている。
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| 今後の研究の推進方策 |
令和３年度もしばらくは、新型コロナウイルス感染症の影響により国内外の出張が制約されることが予想される。そのため、当面は研究分担者の柴田氏（令和３年度より名城大学に異動）とZoomによるオンラインでの議論を行い、研究実績の概要の項目１に示した３次元の場合の結果の高次元化を進める。特に、n次直交群の離散部分群の中で符号付体積評価の方法と相性のよい群があるため、まず、それらの群の場合を検討する。
また、新型コロナの状況に改善が見られた場合は、研究情報収集のための国内外の出張を行うが、並行して、最近増えてきたオンラインによる研究集会へも参加し研究情報を獲得する。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
令和２年度は、新型コロナウイルス感染症の拡大のために、研究分担者の柴田将敬氏（東京工業大学）と月に２回予定していた、お互いの研究機関を訪問しての直接の議論を中断することを余儀なくされ、また、研究情報収集のための国内および海外出張ができなかった。そのため旅費の執行ができず、５０万円程の次年度使用額が生じた。令和３年度は、新型コロナの状況を注意しながら、できるだけ予定している国内外の出張を行い、研究情報収集および研究成果の発表を行う。
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