| 研究課題/領域番号 |
20K03577
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| 研究機関 | 筑波大学 |
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研究代表者 |
川村 一宏 筑波大学, 数理物質系, 教授 (40204771)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | バナッハ環バンドル / 連結安定次数 / 一般安定次数 / K-安定性 |
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| 研究実績の概要 |
前科研費「関数空間上の線形作用素と幾何学的トポロジー」研究期間中に得た、連続関数環の有理安定化次数についての結果を非可換バナッハ環上に拡張する研究に着手した。今のところ十分に成功したとは言えないが、以下の2つの結果を得た。
１）有限次元コンパクト距離空間上のバナッハ環バンドルの切断全体のなすバナッハ空間のｋ－連結安定次数を評価する評価式を得た。評価式はファイバーのバナッハ環の連結安定次数及び底空間の次元をパラメータとして含み、バナッハ環に値をもつコンパクト距離空間上の連続関数環についての評価式(Vaidyanathan）を包摂する。これによってバナッハ環バンドルのK－安定性に関するSeth-Vaidyanathanの定理の、より概念的な理解を得ることができた。
２）バナッハ環に値を持つコンパクトハウスドルフ空間上の連続関数環の連結安定次数及び一般安定次数の計算を行った。位相幾何学的なアプローチをとることによって、Vaidyanathanの得た不等式（C＊環に値をとる連続関数環についての不等式）をバナッハ環に値をとる環に拡張し、さらにいくつかの類似を証明した。これにより、Vaidynathanの不等式の役割がより明確になった。さらに連続関数環の連結安定次数の計算を行い、Nicaの得た球面上の連続関数環の連結安定次数についての結果をホモロジー球面に拡張した。さらに有限巡回群に関するいくつかのMoore空間上の連続関数環の連結安定次数を計算した。これらの計算の特徴は古典的な非安定ホモトピー群の計算結果を積極的に援用したことにある。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
前研究年度までの研究が主に可換バナッハ環についてのものであったことに比して、非可換バナッハ環にも考察の対象を広げることができたことはよかった一方、非可換バナッハ環の具体例に関する計算が不足していることが、やや遅れていると判断する理由である。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後は位相力学系から定まるC＊環およびAF環における安定次数の計算を進め、有理安定化次数についての果たす役割を明確にする。さらに安定ホモトピー論及び有理ホモトピー論のより積極的な応用を考える。コロナウィルス感染状況によって対面研究集会が難しい現状にあってもオンライン集会を活用して積極的に情報収集及び研究交流を図る。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
コロナウィルス感染拡大により対面研究集会ができなくなったことによって使用できなかった。対面集会が可能になり次第、例年行っている研究集会を開催し、また研究集会に参加して研究交流を図る。
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