| 研究課題/領域番号 |
20K03584
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| 研究機関 | 大阪大学 |
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研究代表者 |
松本 佳彦 大阪大学, 理学研究科, 助教 (00710625)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | 微分幾何学 / Riemann幾何学 / Einstein方程式 / 漸近的対称空間 |
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| 研究実績の概要 |
本研究は、漸近的対称Einstein空間の存在・一意性の研究に新たな展開をもたらすことを目指すものである。漸近的対称Einstein空間というのは「境界バルク対応」の数学的定式化を与える概念であって、その性質は一般に空間の無限遠境界における共形幾何学やCR幾何学と密接な関係をもっていると考えられている。冒頭で「存在」、「一意性」といったのは、無限遠境界の幾何構造を指定したときの、対応する空間の存在および一意性のことを指す。
2020年度はおもに、丸亀泰二氏、竹内有哉氏との議論を通じて研究を行った。さまざまな問題についての定期的な議論の場に加えて、6月にはAH空間（漸近的対称空間のうちでもっとも基本的なタイプ。無限遠境界の共形幾何学と対応する）における解析学について松本が東京大学で集中講義をする機会を得たのだが、その講義内容を準備するための勉強会を数回開き、その中で本研究課題の問題意識の一部についても詳しく説明した。その結果、丸亀氏から、本研究課題の「大きな対称性をもつ漸近的対称Einstein空間の系統的構成」というアプローチに関し、とくにAdS Schwarzschild型の構成手法について新しい知見を教示いただくことができた。この手法はAH空間についてはよく知られているものなのだが、丸亀氏によればACH空間とよばれるタイプの空間の場合にも同じ手法がある程度適用可能である。しかし、AH空間の場合にこの手法を用いて観察できる非一意性の現象が、現時点ではACH空間の場合にはみられない。ACH空間に対する非一意性に関しては、これ以外の手法を用いて迫っていく必要があるようだ。
そのほか、AH空間におけるユニタリ不変なEinstein計量の構成手法をそのほかのタイプに適用するための基礎的な調査を行った。また、無限遠境界の幾何学を与える放物幾何の理論について理解を深めた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
2020年度は新型コロナウイルス禍のため、本務先における研究以外の諸業務に予定よりも大きな労力を割く必要があった。また、参加を予定していた研究集会の中止、さらには国内外の研究協力者が同様に多忙な状態になっているために打ち合わせを思うように行えないといったことも起こった。当初思ったような形で研究を進めることはできなかった。
それでも「大きな対称性をもつ漸近的対称Einstein空間の系統的構成」というアプローチについては、すでに記述したように状況を明らかにする新たな知見を得ることはできたし、基礎理論に関する理解を深める作業も着実に進めている。一方で、「異なるタイプをもつ漸近的対称空間の連続的な族に対する幾何解析」というアプローチについては、予定していたEinstein方程式の解の漸近展開の連続性についての考察には着手したが、目に見えるような進捗は得られていない。
以上のことにもとづき、進捗状況を「やや遅れている」と判断した。
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| 今後の研究の推進方策 |
新型コロナウイルス禍の影響に関しては、見通しは1年前よりもつきやすくなっている。効率的に研究を進めていきたい。
「大きな対称性をもつ漸近的対称Einstein空間の系統的構成」というアプローチについては、2020年度に行った基礎的な調査にもとづき、AH空間におけるユニタリ不変なEinstein計量の構成手法をその他のタイプに適用するため、本格的な作業を進める。「異なるタイプをもつ漸近的対称空間の連続的な族に対する幾何解析」というアプローチについては、Einstein方程式の解の漸近展開の連続性についての考察を進め、また研究協力者との打ち合わせをある程度の頻度で実施できるよう調整を行う。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
予定していた出張が行えなかったため、旅費の支出がなかった。オンラインでの打ち合わせを行うための備品購入など、物品費の支出を予定よりも多く行ったが、それでも全体としては次年度使用額が生じた。引き続き、オンラインでの打ち合わせ等の効率を高めるため備品等の購入を行う。出張を伴う打ち合わせや成果発表も、可能になりしだい実施する。
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