| 研究課題/領域番号 |
20K03593
|
|---|
| 研究機関 | 学習院大学 |
|---|
研究代表者 |
細野 忍 学習院大学, 理学部, 教授 (60212198)
|
|---|
| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
|
| キーワード | カラビ・ヤウ多様体 / ミラー対称性 / 周期積分 / グロモフ・ウィッテン不変量 / 多変数超幾何微分方程式 |
|---|
| 研究実績の概要 |
昨年度までの研究で、(1,8)型の偏極アーベル曲面をファイバー空間とするカラビ・ヤウ多様体が、ミラー対称性の視点から、とても興味深い諸性質を持つことが判明した。このカラビ・ヤウ多様体については、ミラー族を具体的に構成することが出来て、しかも、その族の大局的な振舞いを解析することも出来、このおかげで、フーリエ向井対と呼ばれる別のカラビ・ヤウ多様体が存在する事実が、族の大局的な解析に大変綺麗に出現する。さらに、このカラビ・ヤウ多様体の周期積分を調べて、グロモフ・ウッテン不変量を定めてみると、不変量の生成母関数が楕円モジュラ―関数で表されることが見出される。今年度の研究では、周期積分の満たす微分方程式を手がかりに、大局的な解析をさらに深めて、楕円モジュラ―関数が現れる理論的な背景の解明を試みた。(1,8)偏極アーベル曲面に加えて、主偏極アーベル多様体(をファイバー空間とするカラビ・ヤウ多様体)も計算の随所に現れることが観察できた。このことから楕円モジュラ―関数が、種数２のジーゲル上半空間上のモジュラ―関数に由来するのではないか、との予想を立てて研究を進めた。また、これらのモジュラ―関数は高次種数のグロモフ・ウィッテン不変量の生成母関数に現れるため、それらを計算する正則アノマリー方程式の構造解明に向けた研究も開始した。今年度は、これらの研究に向けて、モジュラ―関数の計算プログラムの整備、微分方程式の解を用いてモジュラ―関数を表す計算機プログラムの高速化に向けた技術的な問題の解決に取り組み、概ね必要とされる準備を整えることが出来た。
|
| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
アーベル曲面をファイバー空間にもつカラビ・ヤウ多様体のミラー対称性は、フーリエ向井対やグロモフ・ウィッテン不変量、モジュライ空間の幾何学など、ミラー対称性に関わるすべて事象を含み大変興味深い多様体であることが判明しつつある。今年度は、さらに深い研究に向けて計算手法に関する技術的な整備に多くの時間を費やしたが、順調にその準備は進んでいる。
|
| 今後の研究の推進方策 |
アーベル曲面をファイバー空間にもつカラビ・ヤウ多様体について、モジュラ―形式と高次種数の正則アノマリー方程式を手がかりに、そのモジュライ空間の幾何学を解明する。特に、モジュラ―性が正則アノマリー方程式から従うことについて、理論的な解明を目指して研究を実施する。
|
| 次年度使用額が生じた理由 |
国外研究者の招聘を計画していたが、コロナ禍で実現出来なかった。次年度に国際研究集会を開催し、多数の研究者の招聘を行う予定でいる。その費用として次年度に使用することとした。
|
