| 研究課題/領域番号 |
20K03603
|
|---|
| 研究機関 | 筑波大学 |
|---|
研究代表者 |
永野 幸一 筑波大学, 数理物質系, 講師 (30333777)
|
|---|
| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2025-03-31
|
| キーワード | リーマン幾何学 / リーマン多様体 / CAT(k)空間 / アレキサンドロフ空間 / ホモロジー多様体 |
|---|
| 研究実績の概要 |
当該研究の研究主題は，微分幾何学と位相幾何学の両者の手法を用いながら，曲率が上に有界な測地的完備距離空間の幾何構造を解き明かし，曲率が上に有界なホモロジー多様体などに対して大域リーマン幾何学を展開することである．
令和3年度は，CAT(0)空間の位相正則性の研究の一つとして，Alexander Lytchak氏（ケルン大学）とStephan Stadler氏（マックスプランク研究所）と共同で，任意の4次元CAT(0)ホモロジー多様体のすべての距離球面が3次元位相多様体であることを証明した．さらに，このことを用いて，任意の4次元CAT(0)位相多様体が4次元ユークリッド空間に同相であることを示した．この研究成果は，約40年間未解決であった4次元CAT(0)位相多様体の位相正則性に関するGromovの問題に解答を与える．これらの研究成果を含む共著研究論文を公表しており，査読付き学術誌に投稿している．
また，令和3年度は引き続き塩谷隆氏（東北大学）と山口孝男氏（京都大学／筑波大学)と共同で，曲率が上に有界な2次元測地的完備距離空間の幾何構造の研究を行った．本共同研究に関して，令和2年度に公表し査読付き学術誌に投稿した共著研究論文1編は，令和3年度中に2度の査読を終えており，掲載受理のため再々投稿に向けて現在準備中の状況にある．
なお，令和3年度において，CAT(1)空間に対する体積ピンチング定理に関する単著研究論文，およびCAT(0)空間の漸近的位相正則性に関する単著研究論文が，それぞれ査読付き学術誌に掲載されたことを付記する.
|
| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
令和3年度において，当該研究の主題に沿った研究成果として，CAT(0)空間の位相正則性の研究に関する共著研究論文を執筆して，査読付き学術誌に投稿している．この研究論文はおおむね研究課題開始当初の研究計画の通りに得られた研究成果である．さらに，この研究論文は，約40年間未解決であった4次元CAT(0)位相多様体の位相正則性に関するGromovの問題に解答を与えており，当該研究を土台とする著しい研究成果といえる．以上の理由により，「おおむね順調に進展している」と評価する．
|
| 今後の研究の推進方策 |
令和4年度は，令和3年度に引き続き，一つ目の研究課題として，曲率が上に有界な距離空間の壁型特異性の研究を推進する．局所コンパクトで曲率が上に有界な測地的完備距離空間の点がn次元壁点であるとは，その点における接空間が，(n-1)次元ユークリッド空間と3個以上の点からなる離散距離空間上のユークリッド錐との直積空間に等長 的であるときにいう．曲率が上に有界な距離空間において，n次元壁点は最も典型的であり，最初に分析すべき基本的な特異性をもつ．具体的な研究目標は，n次 元壁点の近傍の位相構造と計量構造を詳細に記述して，位相的特異点集合や計量的特異点集合そのものの幾何構造を究明することである．本研究目標を達成することにより，曲率が上に有界な測地的完備距離空間の幾何構造を特異点集合の構造を含めて深く理解できることが期待される．
二つ目の研究課題として，塩谷隆氏（東北大学）と山口孝男氏（京都大学／筑波大学）と共同で，曲率が上に有界な2次元測地的完備距離空間の幾何構造の研究を推進する．具体的な研究目標は，曲率が上に有界な2次元測地的完備距離空間に対して，曲率の上界とホモトピー型を保つ形で多面体近似定理を定式化することと，適切な曲率測度に関するガウス・ボンネの定理を確立することである．本研究目標を達成することにより，曲率が上に有界な2次元測地的完備距離空間の幾何構造の理解が補完されるだけでなく，一般次元の場合の新たな研究の方向性が切り開かれることが期待される．
これらの研究課題に取り組むことによって，曲率が上に有界な測地的完備距離空間に対して，その幾何構造を解き明かしていき，大域リーマン幾何学の展開を推進していく．
|
| 次年度使用額が生じた理由 |
令和3年度において，コロナ禍のため学会や研究集会の開催が中止，延期もしくはオンラインとなり，当該研究課題の遂行に伴う研究発表，情報収集，研究打ち合わせなどのための出張の機会が無かった．このため，当初に旅費として計上していた予算を次年度に繰り越すことになり，次年度使用額が生じた次第である．次年度は，繰越分によって物品費や旅費としての予算を増やし，当該研究を円滑に遂行するために必要な研究環境のさらなる整備と，予定されている国際研究集会への参加などのために，より有意義に，より効果的に使用できるように計画する.
|
