| 研究課題/領域番号 |
20K03603
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| 研究機関 | 筑波大学 |
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研究代表者 |
永野 幸一 筑波大学, 数理物質系, 講師 (30333777)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| キーワード | リーマン幾何学 / リーマン多様体 / CAT(k)空間 / アレキサンドロフ空間 / ホモロジー多様体 |
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| 研究実績の概要 |
当該研究の研究主題は，微分幾何学と位相幾何学の両者の手法を用いながら，曲率が上に有界な測地的完備距離空間の幾何構造を解き明かし，曲率が上に有界なホモロジー多様体などに対して大域リーマン幾何学を展開することである．
令和4年度は，令和3年度に引き続き，一つ目の研究課題として，曲率が上に有界な距離空間の壁型特異性の研究を推進した．局所コンパクトで曲率が上に有界な測地的完備距離空間の点がn次元壁点であるとは，その点における接空間が(n-1)次元ユークリッド空間と3個以上の点からなる離散距離空間上のユークリッド錐との直積空間に等長的であるときにいう．具体的な研究成果として，一般的なn次元壁点の近傍の位相構造と計量構造を詳細に記述する壁型特異性定理を示した．さらに，壁点を許容しないことと，位相的特異点集合や計量的特異点集合の余次元が2以上であることが同値であることを主張する壁型正則性定理を示した．これらの研究成果により，曲率が上に有界な測地的完備距離空間の幾何構造を特異点集合の構造を含めて深く理解できることが期待される．なお，これらの研究成果について単著研究論文を執筆中である．
二つ目の研究課題として，塩谷隆氏(東北大学)と山口孝男氏(京都大学/筑波大学)と共同で，曲率が上に有界な2次元測地的完備距離空間の幾何構造の研究を推進した．具体的な研究成果として，曲率が上に有界な2次元測地的完備距離空間に対して，曲率の上界とホモトピー型を保つ形で多面体近似定理を定式化すること，および適切な曲率測度に関するガウス・ボンネの定理を確立することに成功した．これらの研究成果により，曲率が上に有界な2次元測地的完備距離空間の幾何構造の理解が補完されるだけでなく，一般次元の場合の新たな研究の方向性が切り開かれることが期待される．なお，これらの研究成果について共著研究論文を執筆中である．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
令和4年度において，当該研究の主題に沿った一つ目の研究成果として，曲率が上に有界な距離空間の壁型特異性の研究を推進して，壁型特異性定理と壁型正則性定理を示した．本研究はおおむね研究課題開始当初の研究計画の通りに得られた研究成果である．さらに，二つ目の研究成果として，曲率が上に有界な2次元測地的完備距離空間に対して，多面体近似定理を定式化すること，および適切な曲率測度に関するガウス・ボンネの定理を確立することに成功した．本研究もおおむね研究課題開始当初の研究計画の通りに得られた研究成果である．
以上の理由により，「おおむね順調に進展している」と評価する.
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| 今後の研究の推進方策 |
令和5年度は，令和4年度に引き続き，一つ目の研究課題として，曲率が上に有界な距離空間の壁型特異性の研究を推進して，すでに得られている壁型特異性定理と壁型正則性定理を含む単著研究論文の完成と出版を目指す．本研究目標を達成することにより，曲率が上に有界な測地的完備距離空間の幾何構造を特異点集合の構造を含めて深く理解できることが期待される．二つ目の研究課題として，塩谷隆氏(東北大学)と山口孝男氏(京都大学/筑波大学)と共同で，曲率が上に有界な2次元測地的完備距離空間の幾何構造の研究を推進して，多面体近似定理やガウス・ボンネの定理を含む共著研究論文の完成と出版を目指す．本研究目標を達成することにより，曲率が上に有界な2次元測地的完備距離空間の幾何構造の理解が補完されるだけでなく，一般次元の場合の新たな研究の方向性が切り開かれることが期待される．
また令和5年度は，カントール多様体の認識問題について研究を開始する．コンパクトで測地的完備な至る所n次元である曲率が上に有界な距離空間がn次元カントール多様体であることと，任意の反復方向空間が連結であるか2点集合であるという性質は同値であろうという問題である．この問題の解決のために，カントール多様体の壁点による特徴付けに取り組む．すなわち，コンパクトで測地的完備な至る所n次元である曲率が上に有界な距離空間が壁点を許容しなければ，n次元カントール多様体であろうという特徴付けである．この特徴付けを用いて，カントール多様体の認識問題が帰納的に証明できることが期待される．
これらの研究課題に取り組むことによって，曲率が上に有界な測地的完備距離空間に対して，その幾何構造を解き明かしていき，大域リーマン幾何学の展開を推進していく.
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| 次年度使用額が生じた理由 |
令和3年度において，コロナ禍のため学会や研究集会の開催が中止，延期もしくはオンラインとなり，当該研究課題の遂行に伴う研究発表，情報収集，研究打ち合わせなどのための出張の機会が無かった．このため，当初に旅費として計上していた予算を令和4年度に続き令和5年度に繰り越すことになり，その分次年度使用額が生じた次第である．次年度は，繰越分によって物品費や旅費としての予算を増やし，当該研究を円滑に遂行するために必要な研究環境のさらなる整備と，研究集会への参加などのために，より有意義に，より効果的に使用できるように研究計画を行う．
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