| 研究課題/領域番号 |
20K03604
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| 研究機関 | 茨城工業高等専門学校 |
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研究代表者 |
伊藤 昇 茨城工業高等専門学校, 国際創造工学科, 講師 (10580160)
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| 研究分担者 |
初田 真知子 順天堂大学, 保健医療学部, 教授 (10364887)
吉田 純 国立研究開発法人理化学研究所, 革新知能統合研究センター, 研究員 (20884662)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | categorification / Khovanov homology / Vassiliev invariant / Jones polynomial / TQFT / wall-crossing |
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| 研究実績の概要 |
2021年度の主要業績となる論文：On the four-term relation on Khovanov homology
著者：伊藤昇（研究代表者），吉田純（研究分担者）
本論文ではコンツェビッチの４項関係式のカテゴリフィケーション（圏論化，圏化）をホバノフホモロジーのバシリエフ微分上で行なった．ここでホバノフホモロジーのバシリエフ微分は，2020年度の成果として与えられたものである．
このカテゴリフィケーションは特異絡み目からなる六角形図式の可換性によって記述される．私たちは脱カテゴリフィケーションされた理論ではバシリエフ微分上，コンツェビッチの４項関係式はライデマイスター移動と交差交換を使って確かめることができることは知られていることに着目した．その中で，ライデマイスター移動と交差交換の関係を観察を生かして，これらに対応する射をホバノフホモロジー上で構成すると４項係式のカテゴリフィケーションが得られる．尚，これらの記述は，コボルディズムによるバーナタンによるホバノフホモロジーの構成理論を使ってなされた．
（2021年度の成果との関係）一般的なTQFTの枠組みにおいてホバノフホモロジーを含む絡み目ホモロジーを実現するバーナタンの構成に種数１射を導入し，バシリエフ微分のカテゴリフィケーションを実現，カスプ特異点のものドロミーにおける壁越え（FI関係式）のカテゴリフィケーションも与えた．上記の研究成果は，この構成を受けて研究計画にあるウエイトシステムの定義式であるFI関係式, 4項関係式のカテゴリフィケーションを完遂するものである．
コンツェビッチのウエイトシステムは量子群の種類に対して普遍的であることから，2021年度はより一般のKhovanov-Rozansky homologyにおけるウエイトシステムの様子を調べ始めるため，その構造を詳しく議論する研究会を継続的に開いた．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
最初の目標であった交差交換のカテゴリフィケーションの後，次の目標であったウエイトシステムのカテゴリフィケーションを目指した．それは，より理論的な背景をもっておこなうために，表現論として一般化された対象であるKhovanov-Rozansky homologyのカテゴリフィケーションを詳しく調べた．ところが，Khovanov-Rozansky homologyの理論は世界的に有名であり，多くの研究がなされているにもかかわらず，chainレベルでの基本的な同型の議論が驚くほど少ない状態であった．特にVassiliev skein 関係式，FI 関係式，４項関係式，といった，我々が達成してきた特異点に現れるwall-crossingのカテゴリフィケーションは，表現論としてよりheigherの場合に具体的にどれくらいの一般化をもつかはすぐには観察が不可能であった（up to homotopyの議論が多かったため）．そこで，既存の理論を丁寧にchain levelの同型により書き直す作業を始めた．これにより，初年度の見た目の遅れは挽回できるほど多くの非自明な同型をcomplexの間に導いたため，研究は，おおむね順調に進展しているといえる．
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| 今後の研究の推進方策 |
出張が依然として困難な状況が続いているため，オンラインセミナーの充実に努める．計算機サーバーの活用も一層重要視する．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
人件費の時間数の単位とぴったり合わなかったため．
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