| 研究課題/領域番号 |
20K03605
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| 研究機関 | 東京工業大学 |
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研究代表者 |
野坂 武史 東京工業大学, 理学院, 准教授 (00646903)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | ３次元多様体 / Chern-Simons理論 / 有限群のコホモロジー |
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| 研究実績の概要 |
3次元トポロジーのべき零的な研究を進めている。但し２年度目で一定の成果を得たため、３年度では計画書と少々ずれるが派生的な研究を行い、
３つの結果を得た。プレプリントとして以下の様にまとめた。
(1) 閉３次元多様体のChern-Simons不変量に関してである。その不変量は一つのSL(2;C)表現が与えられた毎に定義出来るが、多くの既存の研究は一つであるホロノミー表現のみに注目される研究が多く、双曲幾何との関連性が論じられた。
対して、筆者はすべてのSL(2;C)表現を考え、その不変量の和に関して予想を立てた。本論文で一定の多様体のクラスに対し予想が正しい事を証明する事が出来た。また境界つきの多様体の場合でも類似した議論を展開し、２橋結び目に対し結果を得た。
(2) Dehn手術を通して、閉3次元多様体の不変量を古典的な設定から構成した。正確には対称カンドルの視点による対称コサイクル不変量という絡み目不変量が、よい条件のもとで、閉3次元多様体の不変量を与える事を示した。例えば任意の有限群に対して具体的に不変量が構成でき、簡単な群では不変量が計算できる事を例示した。
(3) Dijkgraaf-Witten不変量とは、有限群の群３コサイクルから構成される位相不変量である。そこで本論文ではその３コサイクルが複素表現の２次Chern類から自然に由来する場合を考えた。その際にRiemann-Rochの定理を用いる事で、当不変量の12倍はある有限被覆空間のカップ積構造らでほぼほぼ計算できることを示した。またその12倍が現れる本質的な原因を解明した。そして幾つかの具体的な有限群に対して、トランファーの理論を用いる事で計算方針を示すことができた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
申請書での計画では、べき零群を用いた３次元トポロジー的研究法を３つ掲げたが、そのうち一つ目に関して初年度に満足のいく結果を得た。しかし、３つのうち他の２つに関しては結果が部分的にしか得られておらず、次年度の課題となった。この課題には４次元的な技術を要する難点が具体的に理解できた為、次年度では、状況や必要事項を入念に調べ、解決できる部分がみつかり次第実行していく状況である。またべき零群の双対性を示すために必要な技術も取り入れる事が今年度は難しかった。二年度目の報告書にも記したが、筆者は双対性の派生事項としてシンプレクティック性が現れ、そこでの鍵がFoxペアリングであることを解明してはいた。その結果、群コホモロジー上で生じる双対性からのアプローチを提唱し、Foxペアリングの性質が解明されつつある為、べき零的な研究の進捗状況はおおむね進展していると思われる。
一方で、当計画の方針から派生的に得た上結果(1)(2)(3)は、一定の満足のいく成果と思われる。例えば(1)ではChern-Simons不変量の関する予想は、近日の随伴トーションの予想と類似しており、新しい課題を与えた。例えば、量子不変量の摂動展開における相互律を予感させる方向性が展開できそうである。次に(2)の結果は、新しい閉3次元多様体の不変量の構成法で、カンドル理論の可能性を広げた内容と思われる。この論文では新しい代数のクラスを導入し、今後はそのクラスを入念に研究する課題が生まれた。最後に(3)ではDijkgraaf-Witten不変量のコホモロジカルな議論をＫ群的な視点から研究する可能性を与えている。Riemann-Rochの定理を適用できた点は独創的と思われる。
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| 今後の研究の推進方策 |
3次元トポロジーのべき零的研究を遂行するにあたり、次の２つの方策を考えている。
（I）上記の計画書の３目標のうち他２つに関しては結果を多く得られなかった為、最終年度で研究を進める。２年目の報告書では、``指数可解的結び目"に対して、(1)の結び目不変量にLogが定義する事が出来たことを述べた。その議論から、そのホモロジーは定量的に分析する事が出来る代数トポロジーのS双対定理とFoxペアリングに着目する方針と、Kontsevichの形式的シンプレクティック幾何の研究に近づける方針を述べたが、筆者の理解が足りず、この方針を実行するにあたり４年度目では情報収集を行う予定である。
具体的にはLie-Lie代数の１次ホモロジーの理解が足りていない点が挙げられる。この理解にはConantたVogtmanなどによるグラフホモロジー的議論を導入し、当ホモロジーは定量的分析を目指す。この際に、オペラッドの議論が散見できるため、オペラッドに関する知識や情報を収集する。
(II) 他方でべき零的な設定に関し困難や克服点が理解できたため、別の群の設定を考える事も有用と思われる。例えばよいChern-類を与える有限群のクラスを見抜くことで、有限群ゲージ群の理論のモデルを構築する事が出来る可能性がある。例えばp群はべき零群である為、目的であるべき零的研究のtoy-modelとして面白い結果が得られるかもしれない。またべき零的な双対性を見抜くうえで、トポロジーのS双対定理やKoszul双対定理が鍵となる。その双対定理はスペクトラムやE無限大代数などの視点から解釈するのが標準であるため、筆者はその局所系係数への読み直しを推し進め、（基礎理論がうまく構築できれば）順当的に整備していく予定である。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
招聘予定者の居住地および日本におけるコロナ感染状況が芳しくなく，研究計画遂行に必要な討論が不可能となることが判明し、予定の使用額との齟齬が報じた。使用計画として、著書の購入や研究設備の投資や英文添削などに費用をかける計画である。
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