2023 年度研究成果報告書

3次元トポロジーのべき零的研究

研究課題

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研究課題/領域番号	20K03605
研究種目	基盤研究(C)
配分区分	基金
応募区分	一般
審査区分	小区分11020:幾何学関連
研究機関	東京工業大学
研究代表者	野坂武史東京工業大学, 理学院, 准教授 (00646903)
研究期間 (年度)	2020-04-01 – 2024-03-31
キーワード	トポロジー / ３次元多様体 / 群のコホモロジー / 結び目 / 写像類群
研究成果の概要	研究計画どおりに研究を進め一定の成果を得、加えて副産的な結果が得られた。先ず計画通り、結び目のメタべき零的研究を進め、結び目の不変量を構成した。このモノドロミーにシンプレクティック性を見出す為、Foxペアリングという高次の交叉形式に着目し結果を得た。他方で、ジョンソン準同型の対数に着目し、``指数可解的な元"に限定する事で、対数の定義範囲を既存のものより拡張する事が出来た。そして結び目の補空間の基本群の群準同型から、捩れAlexander多項式の定義拡張を目指した。ここで代数K_1群が鍵となった。本研究も代数トポロジーの手法を影響下に、低次元トポロジーの研究を推進させた。
自由記述の分野	低次元トポロジー
研究成果の学術的意義や社会的意義	トポロジーの技術や手法は多くの分野に応用をもたらしている。私は２と３次元多様体に関して応用する研究を行っている。当研究分野において、群のべき零性やコホモロジーを用いた研究が今まで幾つかあるが、本研究はその潮流に進展を目指したもので学術的に意義がある。また結び目理論（空間内のひもの絡み方の研究）や写像類群の分野にも関連する。また本研究は代数トポロジーの手法やアイディアを基にし、コホモロジー論やホモトピー論の技術を活用し、トポロジー内の横断的な理論発展を目指すものである。