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2021 年度 実施状況報告書

曲面群のリー群への表現と負曲率の幾何

研究課題

研究課題/領域番号 20K03610
研究機関大阪大学

研究代表者

馬場 伸平  大阪大学, 理学研究科, 准教授 (40822870)

研究期間 (年度) 2020-04-01 – 2023-03-31
キーワード曲面群の表現 / 双曲幾何学 / 指標多様体
研究実績の概要

曲面群と負曲率の幾何に関連した以下に述べる2つの結果を得た。これらを論文にまとめ,プレプリントとしてarXiv上で一般に公開した。また,これらの結果を研究集会などで講演した。
まず3次元の多様体の分類において,双曲多様体を理解することは重要である。3次元のgeometrically finiteな双曲多様体は,理想境界のRiemann面の構造によってパラメラー付されることがよく知られている。これに類似したパラメター付を、双曲多様体のconvex core上のmeasured laminationによりできるという予想が未解決問題であるBonahonとOtalはこの予想の解決向けて,大きな貢献をしている。本年度の研究で大鹿健一氏との共同研究に別の視点から,より位相幾何学的なアプローチを与えた。特により一般のgeometrically infiniteな曲面群に既存の結果を拡張させた。
次にRiemann面上の2次正則微分の空間は、有限次元の複素ベクトル空間をなす。このベクトル空間は,対応する複素射影構造のホロノミーにより,基本群のP S L(2, C)への表現空間,つまりP S L(2,C)指標多様体に真に解析的に埋め込まれている。この像はPoincare Holonomy Variety またはsl(2,C)-operと呼ばれ,双曲幾何学などの関係から重要な複素解析的部分多様体である。私は,このholonomy varieties類似をThurstonによる複素射影構造のパラメター付の観点からP S L(2,C)指標多様体に構成した。また,Thurston のパラメター付は実解析的な部分多様体を与えることから,これの複素化を行った。そのために曲面群のP S L(2,C)の直積への表現のbending変形を導入した。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

双曲幾何学と曲面の表現の関係に関して,新たな視点を与える結果を複数得て,論文にまとめることが出来たため。

今後の研究の推進方策

曲面の基本群のLi群への表現,双曲幾何学に関して,新しい観点から理解を一層深める。

次年度使用額が生じた理由

コロナ禍で,海外出張を含め,対面の研究集会参加を行うことがほとんどできなかったため。

  • 研究成果

    (3件)

すべて 2021

すべて 学会発表 (3件) (うち招待講演 3件)

  • [学会発表] Kleinian surface groups and bending measured laminations2021

    • 著者名/発表者名
      馬場伸平
    • 学会等名
      関数論シンポジウム
    • 招待講演
  • [学会発表] Riemann surfaces, uniformization theorems, and CP^1 -structures2021

    • 著者名/発表者名
      馬場伸平
    • 学会等名
      トポロジーシンポジウム
    • 招待講演
  • [学会発表] Bending Teichmuller spaces and character varieties2021

    • 著者名/発表者名
      馬場伸平
    • 学会等名
      Riemann surfaces and related topics
    • 招待講演

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公開日: 2022-12-28  

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