| 研究課題/領域番号 |
20K03611
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| 研究機関 | 兵庫教育大学 |
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研究代表者 |
小池 敏司 兵庫教育大学, その他部局等, 名誉教授 (60161832)
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| 研究分担者 |
小川 聖雄 兵庫教育大学, 学校教育研究科, 准教授 (50408704)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | 構造安定性 / ナッシュ写像 / 部分解析的集合 / ジェットの十分性 / 結構次元 / 実解析写像 / 半代数的同値 |
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| 研究実績の概要 |
本研究における第一目標は、実代数的写像（ここでは、ナッシュ多様体間のナッシュ写像を意味する）に対する構造安定性問題を解決することにある。より具体的には、実代数的写像の構造安定性に対する結構次元（安定な写像全体の集合が写像空間内で閉かつ稠密になる多様体の次元の対）を決定することである。この研究においては、定義域のナッシュ多様体がコンパクトな場合に、実代数的写像の結構次元が実解析構造安定性の結構次元に一致することを示すことを問題にしている。この問題に関して、昨年度、実解析構造安定性の結構次元が実代数的構造安定性の結構次元になっていることを示していた。当該年度の研究成果は、その逆を示すことにより、それらの二つの結構次元が一致することを示したことである。従って、第一目標の問題を解決したことである。
次数が制限された多項式関数全体に現れる位数型の個数が有限であることは、特異点論の分野においては、福田の有限性定理として広く知られている。この結果は関数の場合の位相構造安定性問題と深く関係している。福田の有限性定理に関連して、外国人研究協力者の L. Paunescu 氏との共同研究により、多項式関数族に対する種々の位相有限性定理や半代数的有限性定理、また、それらを一般化して、必ずしもコンパクトとは限らないナッシュ多様体上定義されたナッシュ関数族に対する半代数的有限性定理を示し、それらの結果を論文にまとめていた。当該年度に、その論文を欧州の雑誌より出版した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
上の「研究実績の概要」欄でも述べたように、本研究の第一目標としている課題については解決することができた。しかし、その研究に少し手間取ったこと、実解析構造安定性問題の関連課題について現在も研究を続行中であること、また、この３年間、コロナの影響で、外国人研究協力者達と対面での議論を通した共同研究ができなかったことにより、本研究の第二目標としている「実解析写像の部分解析的構造安定性定理の確立」という課題に対して、最初に設定した予定どおりに研究が進んでいるとは言えない。このことから、やや遅れているとした。
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| 今後の研究の推進方策 |
「理由」欄で述べた、本研究の第二目標である「実解析写像の部分解析的構造安定性定理の確立」の問題に取り組む。この定理の証明には層化理論が重要な道具となることが予想され、層化理論の専門家の外国人研究協力者の K. Bekka 氏、部分解析的集合の幾何学的方向束の安定性定理を共同で示した外国人共同研究者の L. Paunescu 氏との共同研究を通して、この問題の解決に取り組む。
また、現在、日本人特異点研究者達と取り組んでいる実解析構造安定性定理の証明の精密化の研究も続行する。昨年度後半より、多くの研究集会がハイブリッドで行われるようになり、それらの機会をとらえて日本人共同研究者達との対面での議論を通して研究を進める。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
当該年度の使用予定額の大半は、本研究を進めて行く上で海外協力研究者達との相互訪問を通した対面での共同研究を行うために用いる海外渡航費、関連する国内研究者達と対面で議論を行うためや、他の国内研究者達からヒントやアイデアを得るために研究集会に参加するためなどの国内出張旅費に使用する予定であった。しかし、新型コロナのせいで、海外出張や海外研究協力者の招へいは難しく、国内においても、当該年度後半になって漸く研究集会がハイブッリドで開催されるようになった。そのため、旅費を予定通りに使用することができなかった。
次年度については、前半から多くの関連する国内研究集会への参加や、国内共同研究者への訪問を積極的に行い、また、海外協力研究者の招へいなどにも努めて、当該年度に使用できなかった旅費の分も合わせて使用する計画である。
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