| 研究課題/領域番号 |
20K03621
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| 研究機関 | 山梨大学 |
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研究代表者 |
中村 拓司 山梨大学, 大学院総合研究部, 教授 (60382024)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| キーワード | 仮想結び目 / サポート種数 / 宮澤多項式 / 交差多項式 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的は結び目の幾何的性質と代数的不変量の関係を局所変形の観点から明らかにすることである．特に多項式不変量と局所変形の関係の解明や，局所変形を通した新しい代数的不変量の開発を課題としている．
本年度は主に仮想結び目のサポート種数と宮澤多項式の関係について研究した．仮想結び目は閉曲面×閉区間内の閉曲線と考えられ，その閉曲面に射影された結び目図式を持つ．与えられた仮想結び目に対し，その図式を含むような閉曲面の最小種数を仮想結び目のサポート種数という．通常の結び目は2次元球面に結び目図式を持つので，サポート種数は0である．サポート種数は仮想結び目の幾何的な不変量の一つであるが，一般に与えられた仮想結び目のサポート種数を決めるのは困難である．宮澤多項式はJones多項式の一般化として導入された多項式不変量で，変数としてAとx_i(i=1,2,...)を持つ．変数x_iの存在は仮想結び目自体の特徴を表しており，例えばx_1x_3という項は持つがx_2は持たないなどということが考えられる．また，通常の結び目の宮澤多項式は任意のiについて，変数x_iを持たない．この変数x_iを持つ項の存在とサポート種数の関係を考察した．任意の自然数iについて，(Aの多項式)x_iという形の項を持つサポート種数1の仮想結び目が存在することを局所的にx_iを生み出すタングルを構成することにより示した．また，異なるiとjについて(Aの多項式)x_ix_jという形の項を持つサポート種数1の仮想結び目は存在しないことを示した．これらの結果はDye-Kauffmanによる従来ある結果に含まれてしまうが，例えば(Aの多項式)x_ix_jx_kの項のi,j,kの値とサポート種数の関係や局所変形との関連の解明を目標に，証明の精密化に取り組んでいる．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
仮想結び目のサポート種数という幾何的不変量と宮澤多項式という多項式不変量との関係を見出すことができた．局所変形との関連も含め，今後の研究発展が期待できる．
神戸大学の高木駿希と中西康剛により，パス変形1回で解けるような結び目のConway多項式の実現問題について解答を与える例が示されている．本研究課題の核となる問題が肯定的に解決されたが，現在この例を精査し，新たな例の構成や一般化を図ることに取り組んでいる．これにより，パス変形に関する結び目全体の集合の構造解析が進展する．
また，昨年度主に研究した交差多項式については，計算も比較的容易にできるため，局所変形との関連も含め，今後も大いに進展する可能性を持つ対象であると考えられる．
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| 今後の研究の推進方策 |
本年度の研究の進捗状況を踏まえて，今後の研究の方針を次のように考えている。
（１）通常の結び目について，パス変形に関するConway多項式の実現問題について得られた例を精査し，新たな例の構成や一般化を図る．パス変形に関する結び目全体の集合の構造解析に取り組む．これは本研究課題の核になっている問題である．
（２）交差多項式と局所変形の関連について，交差多項式を変えない局所変形の開発を行う．
（３）宮澤多項式の(Aの多項式)x_ix_jx_kという形の項を導く局所変形を開発し，サポート種数との関係（評価）を調べる．
（４）3次元多様体を表す仮想結び目図式上の局所変形と不変量の関係について研究する．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
コロナ禍において，出張予定だった研究集会やセミナー等がオンラインで開催されたため，出張旅費を使用しなかった．この分は，オンラインでの共同研究・セミナー参加等の充実に係る機器の購入や文献費，コロナの状況が好転した場合の出張旅費などで使用する計画である．
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