| 研究課題/領域番号 |
20K03627
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| 研究機関 | 信州大学 |
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研究代表者 |
謝 賓 信州大学, 学術研究院理学系, 教授 (50510038)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | 確率偏微分方程式 / 確率Cahn-Hilliard 方程式 / 絶対連続性 / 非退化 / 大域解 / 定常解 / KPZ / Malliavin解析 |
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| 研究実績の概要 |
昨年度に引き続き，一般化の確率Cahn-Hilliard 方程式のエルゴート性および特異な確率偏微分方程式の大域的解を中心にして研究を行った．本年度の実施状況の詳細は以下の通りである．
（1）一般化の確率Cahn-Hilliard 方程のエルゴート性及びその解の絶対連続性を調べてきた．昨年度では，乗法的ホワイトノイズが加わった場合に対して，付随するマルコフ半群の一様的緊密性を示したことより，解の不変測度の存在の証明に成功した．今年度は，その結果をさらに深めて不変速度の一意性を考察した．そのために，重要な道具であるBismut-Elworthy-Liの公式の拡張を試してみたが，解決すべき技術的問題が一部残っていることに気づいた．また，非線形の拡散係数に非退化の条件を課す条件の下でMalliavin解析の手法を用いて，解の微分可能性や絶対連続性を研究した．このような結果はさらに洗練する必要があるので，R4年度では引き続き研究する予定である．
（2）特異な確率偏微分方程式の初期値問題についての大域解の存在を研究した．共同研究で，1次元格子上のランダムな環境におけるZero-range processの流体力学極限の研究に関わった特異な準線形の確率偏微分方程式の初期値問題に対してパラコントロール解析の意味での時間大域解の存在および定常解への収束を研究した．得られた成果は国際学術誌に投稿し，アクセプトされ，onlineで出版された．特異な準線形の確率偏微分方程式の大域解に関する世界でほどんと知られていないので，重要な貢献であると思われる．また，確率的手法より，ある種のKZP方程式についての解の存在と一意性を考察した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
今年度では，まず，一般化の確率Cahn-Hilliard方程式に対して不変測度の存在の証明を厳密化するともに，不変測度の一意性の研究も進めた．また，当初計画した解の絶対連続性についての研究も遂行した．続いて，共同研究で，1次元非適切な準線形確率偏微分方程式に対して大域解の存在および長時間にわたる振る舞いを調べ，その結果は国際学術誌に掲載した．今年度も引き続き近年世界中に注目された特異な非線形確率偏微分方程式を研究した．これは今後最先端の研究に取り組むための極めて要な試みである．
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| 今後の研究の推進方策 |
本年度の研究状況を踏まえ，当初計画した一般化の確率Cahn-Hilliard方程式についてのエルゴート性と解の絶対連続性等の研究をさらに深めることを目指す．また，引き続き，特異な非線形確率偏微分方程式の研究にも力を注ぐ．
コロナの影響で，この2年間では，対面での議論や研究集会への参加はできなくなかったが，Zoom等のオンラインソフトを使って研究交流や研究集への参加を積極的に行い、研究を順調に進めることができている．しかし，対面での議論や出席等のことで得られるものには及ばないのが事実である．次年度では，コロナ対策が許されるならば，共同研究を招へいし，対面での議論を行ったり，現場で研究集会に出席したりするつもりです．このようなことより，研究の推進と国際的な研究ネットワークの拡充を行い，さらに研究を進めていきたいと思います．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
2年間が続くコロナウイルスの影響で出席予定の研究集会が延期または中止になってしまった．特に，海外で開催された国際研究集会に対面出席がすべてできなくなった．これまでのような現地出席や対面での研究打ち合わせができなくなったので，次年度使用額が生じた．残高は令和4年度の請求額と合わせて，情報収集，研究連絡，研究発表等のために，海内外の研究集会等への出張旅費として使用する予定である．
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