| 研究課題/領域番号 |
20K03632
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| 研究機関 | 山口大学 |
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研究代表者 |
堀田 一敬 山口大学, 大学院創成科学研究科, 准教授 (10725237)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | レブナー方程式 / 非可換確率論 |
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| 研究実績の概要 |
本年度は以下のような研究を行い，成果を得た．
１．先行研究においてdecreasing Loewner chainと単調独立性における独立増分過程との1対1対応が示された．それを受けて本研究ではdecreasing Loewner chainと古典独立性における独立増分過程との1対1対応を示すことで，異なる独立性における独立増分過程を対応させることに成功した．手法としては，微分可能性を仮定しないdecreasing loewner chainを導入し，微分方程式ではなく積分方程式を導くことで対応するHerglotz functionsを一般化し，そこから測度を取り出すことで独立増分過程への対応をつけた．一方でこれはまだ単位円板モデルのみの結果であるので，今度は上半平面モデルについての研究を行っていきたい．
２．前プロジェクト（若手B）においてmultiple slits SLEのHydrodynamic limitの研究を進めたが，ここに現れるBurgers-Loewner方程式が何者なのかまではわかっていなかった．これに関して本年度に研究を進めた結果，これは正則関数の半群族から生成されるInfinitesimal generatorを用いて定義されるnonlinear resolventsの族が満たす微分方程式の特別な場合であることがわかった．今後の課題として，nonlinear resolventにおいてt=1の場合はVoiculescu変換が現れることに注目し，自由確率論とLoewner方程式の理論との関係性を調査していく．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
遅れた理由としては，コロナウイルスによる影響から研究活動をする時間の確保が難しく，研究活動そのものに支障が出たことが挙げられる．また海外の研究者の招聘，国際研究集会への参加，海外の研究者との共同研究なども大きく妨げられた．2021年度もこの状況が続くと思われるが，この機会に国内の研究者との交流を進めていきたいと考えている．
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| 今後の研究の推進方策 |
今後は次のような課題の解決に取り組んでいく．
１．単位円板におけるradial decreasing Loewner chainと古典独立における単位円周上の独立増分過程との関係性は示すことができたので，次は上半平面におけるchordal decreasing Loewner chainと実軸上の独立増分過程との１対1対応を示す．
２．Burgers-Loewner方程式と自由確率論との関係性をより明らかにしていく．特にVoiculescu変換をBurgers-Loewner方程式から得られるLoewner chainに埋め込み，そこから何が見えるかを考察する．
３．SLEと非可換確率論との関係性を調査する．先行研究においてF変換がslitであるための確率測度の必要十分条件を得ることができた．これを用いてSLEが非可換確率論の他の独立性の観点からどのように見えるのかを調べていきたい．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
前述のようにコロナウイルスによる影響で多くの研究計画に遅れが生じている．次年度は本年度よりは状況が改善するものと信じ，海外渡航・研究者招聘・研究集会開催などを積極的に行っていきたいと考えている．
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