幾何学的視点を融合した無限次元空間上の確率解析の研究

2023 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 20K03639
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 審査区分: 小区分12010:基礎解析学関連
• 研究機関: 慶應義塾大学
• 研究代表者: 河備 浩司 慶應義塾大学, 経済学部(日吉), 教授 (80432904)
• 研究分担者: 石渡 聡 山形大学, 理学部, 准教授 (70375393) ; 楠岡 誠一郎 京都大学, 理学研究科, 教授 (20646814) ; 星野 壮登 大阪大学, 大学院基礎工学研究科, 准教授 (20823206)
• 研究期間 (年度): 2020-04-01 – 2024-03-31
• キーワード: 確率論 / 確率解析 / 確率偏微分方程式 / ラフパス理論 / 離散幾何解析 / 大域解析学 / マリアヴァン解析 / ディリクレ形式

研究成果の概要

(1) 分担者の楠岡, 星野両氏と共に, exp(Φ)_{2}量子場の確率量子化を実現する特異確率偏微分方程式の一意強解を, モデルの特殊性を用いた新たな手法を提案することで構成した。またディリクレ形式との関係も明確に分かった。

(2) 量子場の離散幾何学的な研究を行うための準備として, 非コンパクトなリーマン多様体上のドリフト付きシュレーディンガー半群の離散近似の研究を分担者の石渡氏と行った。これはリーマン多様体上のファインマン-カッツ汎関数積分の有限次元和分近似を考えると言うことにも相当し, 大域解析学だけでなく確率数値解析や多様体学習の視点からも面白い研究である。

自由記述の分野

数物系科学

研究成果の学術的意義や社会的意義

近年の特異確率偏微分方程式の理論の進展により, 無限次元空間上の確率解析と構成的場の量子論の数学的研究の融合が進んでいるが, 本研究で得られた成果は, その中でも中心的なexp(Φ)_{2}-モデルの数学解析における基礎定理である。また, リーマン多様体上のドリフト付きシュレーディンガー半群の離散近似の研究成果であるが, ファインマン-カッツ汎関数積分の有限次元和分近似を考えると言うことにも相当し, 今後, 離散幾何解析的視点からの量子場の解析, 確率数値解析, 更には多様体学習への波及も期待できる。