無限大エルゴード理論の構築に向けたエルゴードラムゼー理論とエルデシ予想の追究

2022 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 20K03642
• 研究機関: 日本女子大学
• 研究代表者: 夏井 利恵 日本女子大学, 理学部, 准教授 (60398633)
• 研究期間 (年度): 2020-04-01 – 2024-03-31
• キーワード: エルゴード理論 / 複素連分数変換

研究実績の概要

本研究の目的は、無限大不変測度を持つ可測力学系における determinism とrandomness の概念に着目し、様々な数論的変換のエルゴード理論的研究を通して determinismとrandomness の違いを捉える新たな不変量を見出すことにより分類問題を考え、このような系の一般的体系を築くことにある。特に、Erdos予想との関連を強く意識した中で無限大不変測度を持つエルゴード変換に着目し、ergodic Ramsey theoryを追究する。上述の目的に向かった研究実施計画の中で、当該年度では、虚二次体上の様々なタイプの複素連分数変換のエルゴード理論的研究に焦点を当てた。主な研究実績は以下の通りである。
[1] 虚二次体上での複素連分数展開に対するエルゴード理論的性質の導出
虚二次体上での Hurwitz, Lakein, Kaneiwa-Shiokawa-Tamuraタイプなどの様々な複素連分数展開に対する Legendre constantの存在を証明することに成功し、さらにそのエルゴード理論的性質を導出した。本研究成果は後述の研究成果（研究発表欄の[雑誌論文]）に記載の学術論文にて発表している。
[2] ユークリッド数体上での nearest integer型複素連分数変換のエルゴード理論的性質の導出
ユークリッド数体上での CF(1,R), CF(2,R), CF(3,H), CF(3,R)など 8種類の nearest integer 型複素連分数に対して、それぞれに付随する複素連分数変換の natural extension の構成に取り組み、成功した。本研究成果は学術論文として執筆し、現在、学術誌に投稿中である。

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

当該年度も研究成果を学術論文にて発表することができたことは大きな収穫であり、おおむね順調に進展していると言える。また、国際研究集会の開催について、新型コロナウイルス影響で海外研究者の招聘を実現することは出来なかったが、ハイブリッド形式で海外研究者の講演を組むことができ、また、海外研究者の会場参加希望も伴った中で開催できたことは非常に有意義であった。
一方で、本研究は海外研究者との研究交流を軸としているが、当該年度も新型コロナウイルスの影響は続いており、当初計画していた共同研究・研究討論・研究打ち合わせのための海外出張や海外研究者の招聘が叶わなかったことは非常に残念であった。

今後の研究の推進方策

当該年度も新型コロナウイルスの影響が続いてしまい、国外出張、特に海外出張による研究の進展や海外研究者の招聘を実現することが出来なかった為、国外出張、および、研究連携を行っている海外研究者の招聘を伴う研究計画は2023年度に重点を置き直す。
ただし、2023年度も新型コロナウイルスの影響を見通すことはできないので、臨機応変に対応できるように準備する。今後、新型コロナウイルスの影響により実現することができなかった海外出張や海外研究者の招聘の実現に向けて、すでに計画に着手している。同時に、オンラインも活用することで、少しでも効果的に推進させて行く。
様々な状況に応じて、より効果的に研究が推進できるよう柔軟に対応して行きたいと考えている。

次年度使用額が生じた理由

理由：新型コロナウイルスの影響により、計画していた国外出張を行うことができず、さらに、研究集会での講演者、或いは、研究協力者である海外研究者を招聘することが叶わなかった。当該年度の研究計画は効果的な研究推進のために国外出張を伴った共同研究、並びに、研究討論に重点を置いており、そのために必要な旅費が研究経費の比重を占めていた。しかしながら、世界的に新型コロナウイルスの影響が収まることなく、実現不可能だった為、旅費の予算が未執行となった。
使用計画：2023年度に国内外の出張を伴った研究活動を活発に行い、研究を効果的に推進して行く計画である。同時に、当該研究の効果的推進の為に欠かすことのできない海外の研究協力者の招聘をすでに計画している。さらに、何が起こるか分からない状況の為、オンラインを用いた効果的な遂行も同時に行い、そのために必要な経費に充当する予定である。

研究成果

• [雑誌論文] On the existence of the Legendre constants for some complex continued fraction expansions over imaginary quadratic fields (2022)
  • 著者名/発表者名: Hiromi Ei, Hitoshi Nakada, Rie Natsui
  • 雑誌名: Journal of Number Theory 巻: 238 ページ: 106--132
  • DOI: 10.1016/j.jnt.2021.08.004
  • 査読あり