無限次元ユニタリ群に関連したPolish群の総合的研究

2021 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 20K03647
• 研究機関: 千葉大学
• 研究代表者: 安藤 浩志 千葉大学, 大学院理学研究院, 准教授 (40767266)
• 研究期間 (年度): 2020-04-01 – 2025-03-31
• キーワード: Polish群 / ユニタリ群 / 近似的内部自己同型群

研究実績の概要

引き続きPolish群の大域幾何構造について研究を行っている。今年度は単位的C*環のユニタリ群に関連したPolish群について重点的に考察し, 特に次の結果を得た: Aを単位的C*環、Iをその閉両側イデアルとする。V_IでIのunitizationのユニタリによる内部自己同型群のAut(A)における閉包となる閉正規部分群とする。L. RobertはAが単純であるとき, V_Aが位相的単純群である事を示した。筆者はM. Douchaとの共同研究によりこの結果を次の様に拡張した: 次の条件は全て同値である: (1)V_Aは位相的単純群(2)任意のAの中心に含まれない閉両側イデアルIに対してA/Iは可換(3)Aのユニタリ群U(A)のcommutator subgroupの閉包をその中心で割ったものは位相的単純群(4)任意の閉両側イデアルIに対して, V_Iは自明群かV_Aに一致する。議論はRobertのLie理論的なアイデアをさらに押し進めたものであり, 現在Aのperfectな閉両側イデアルの構造についてさらに調べている。

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

直交Hilbert Schmidt群のユニタリ表現については断片的な結果を得たのみであるが、単位的C*環の自己同型群について予定していたものとは違うテーマで興味深い結果を得ることができた。perfectイデアルとV_Aの閉部分群についても関連がもう少しで明らかになりそうである。引き続き直交Hilbert Schmidt群やユニタリ群の大域構造についても考察を続けたい。

今後の研究の推進方策

直交Hilbert Schmidt群のユニタリ表現については準同値類による分類がもう少しで完成しそうであるが、まだいくつか困難が残っている。引き続き様々な手法を検討して証明を試みたい。exponential lengthの性質についてはまだあまり進展が無いが、引き続きlengthが無限となる単純C*環の具体例を見ることで距離空間への作用を考察する。

次年度使用額が生じた理由

当初はDoucha氏との共同研究の為Czech Academy of Sciencesへ、また松澤氏との共同研究のため信州大学への出張を予定していたが、コロナウイルスの流行状況から断念した。令和4年度または令和5年度で様子を見て出張を予定している。

研究成果

• [国際共同研究] Czech academy of sciences(チェコ)
  • 国名: チェコ
  • 外国機関名: Czech academy of sciences
• [雑誌論文] Large scale geometry of Banach-Lie groups (2022)
  • 著者名/発表者名: Hiroshi Ando, Michal Doucha and Yasumichi Matsuzawa
  • 雑誌名: Transactions of AMS 巻: 375 ページ: 2827-2881
  • DOI: 10.1090/tran/8576
  • 査読あり / 国際共著
• [学会発表] Large scale geometry of Banach-Lie groups (2021)
  • 著者名/発表者名: 安藤浩志
  • 学会等名: 作用素論・作用素環論研究集会2021
  • 招待講演