| 研究課題/領域番号 |
20K03659
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| 研究機関 | 東北大学 |
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研究代表者 |
中野 史彦 東北大学, 理学研究科, 教授 (10291246)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| キーワード | ランダムシュレーディンガー作用素 / 減衰ポテンシャル / 指数ブラウン運動 / 一般化リフルシャッフル / 行列式過程 |
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| 研究実績の概要 |
(1) 減衰ポテンシャルを持つ１次元ランダムシュレーディンガー作用素において、固有値と固有関数のなすランダム測度のスケーリング極限を考え、ポテンシャルの減衰オーダーに依存しての極限の変化を調べた。前年度まではdecaying coupling model について同様の問題を考えていたが、今回はdecaying potential model であり、critical のときなど、技術的により困難が考えられるが、それは固有関数の増大部分をうまく差し引いてキャンセルさせることで解決できた。減衰がsuper-critical のときは固有関数の極限は一様分布、critical のときは指数ブラウン運動により定まるベキ減衰をする分布、sub-critical のときはポアソン分布で記述される。
(2) 色付き置換群上のランダムウォークの一種である一般化リフルシャッフルが、指定した位置にdescent を持つ確率を行列式の形で表現する公式を求めた。色付き置換群は２種類の descent を持つが、それぞれ形は異なる。証明には該当するリフルシャッフルの集合とある格子上の非交叉経路の集合との間に全単射を構成し、LGVの補題を使うことで行列式表現を得るのだが、全単射の構成には、以前の研究である一般化キャリーズプロセスとリフルシャッフルとの関係において調べた研究手法が役立った。また、その中に現れるパラメータを無限大にする極限をとることによって一様分布における対応する量を表現する公式を求めた。また一般化キャリーズプロセスの推移確率行列の対角化をする平易な証明を見つけることができた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
当初の予定では、１次元ランダムシュレーディンガー作用素において、固有関数のなすランダム測度の、通常とは異なるスケーリングの下での極限を調べる研究に着手している予定であったが、それはかなわなかった。理由としては、
(1) 転勤のため、新しい職場環境・生活環境に順応するのに想定外の時間をとられたこと
(2) 感染症対策でのオンライン授業準備に想定外の時間をとられたこと
により、研究時間を確保できなかったことが考えられる。
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| 今後の研究の推進方策 |
(1) 研究実績の概要 (1) の内容を論文にまとめる
(2) 国内外の関連する研究について精査し、状態密度の挙動を調べる研究へのヒントを探ること
(3) 固有関数のスケーリング極限をより精密に調べる研究に着手すること
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| 次年度使用額が生じた理由 |
次年度使用額が生じた理由：感染症対策のために出張旅費の支出ができなかったため。
使用計画：国内出張を中心に、関係者との研究打ち合わせ、研究集会出席・発表を行う
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