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平均場とは、離散的な存在である粒子系において、粒子数を無限大にした極限（平均場極限）に現れる粒子の連続的な分布関数のことである。平均場方程式とは、このような平均場が満たす方程式であり、粒子系が平衡状態にある場合、その多くは半線形楕円型偏微分方程式になる。線形応答とは、平衡状態にある物理系に対し、平衡状態を崩すことなく外力により摂動したとき、状態に生じる変化の外力に関するガトー微分のことである。すなわち本研究の対象は、半線形楕円型偏微分方程式の摂動問題及び摂動に関する線形化問題である。
このような対象は偏微分方程式の研究として一般的だが、本研究の特色は、この一般的な対象を、平均場の由来である粒子系に遡って摂動を加え、粒子系の線形応答を求め、その線形応答の平均場極限を通して考察することにある。すなわち、粒子系から見て、粒子数を無限大にする平均場極限と摂動系のガトー微分という二つの極限操作の順序による差異の解明が、本研究の目的である。
今年度も研究実施計画に従い、これまでの研究の精密化である平均場方程式の基礎研究を進めた。特に、簡略化された変数係数平均場方程式（変数係数Gel'fand問題）の線形化作用素について、これまで解析されていない固有値の漸近挙動を解析して新たな成果を得た。具体的には、変数係数Gel'fand問題の解がn点爆発に十分近いとき、その線形化作用素の第1～第n固有値が、爆発を特徴付けるHamiltonianから定まるn×n行列の固有値の挙動で制御されることを、定数係数Gel'fand問題同様に示すことができた。これにより、結論の、摂動に関する安定性を確認できた。
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