| 研究課題/領域番号 |
20K03678
|
|---|
| 研究機関 | 京都大学 |
|---|
研究代表者 |
岸本 展 京都大学, 数理解析研究所, 講師 (90610072)
|
|---|
| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2025-03-31
|
| キーワード | 非線形シュレディンガー方程式 / 初期値問題の適切性 / 周期境界条件 / 共鳴相互作用 / 解の一意性 / 解の非存在 |
|---|
| 研究実績の概要 |
本研究課題では，非線形分散型方程式において共鳴型の非線形相互作用により方程式の性質が大きく変化する現象に興味がある．今年度は，具体的な問題として非局所型の相互作用を持つ微分型の1次元非線形シュレディンガー方程式を研究し，堤誉志雄氏（京都大学）と共同で以下に示す成果を得た．
１．周期境界条件下での初期値問題に対し，先行研究ではソボレフ空間での時間正方向への時間局所解の存在と平滑化，およびエネルギー有限な解の時間大域存在を，初期値が十分小さい場合に示していたが，解の初期値に対する連続依存性についてはL2ノルム一定の仮定が必要であった．これに対し，非線形項の評価式を精密化することにより，付加条件なしで初期値連続依存性および非一様連続依存性を示すことができた．初期値連続依存性は数値シミュレーションの正当性の根拠となることからも，物理現象のモデルとして用いられる本方程式に対してはとりわけ重要な性質である．
２．数直線上の問題と周期境界条件を課した問題の双方に対し，正則性がある程度高いソボレフ空間で時間正方向への時間局所適切性を示し，特に任意の大きさの初期値に対する時間局所可解性と解の一意性の問題を滑らかな解の場合に解決した．証明は古典的なエネルギー法を基にしているが，一般的な微分型シュレディンガー方程式の場合とは異なり，非線形項に内在する散逸効果を精密に評価した上で活用することが不可欠であった．
３．先行研究と滑らかな解の一意性からの帰結として，時間負方向へは一般に解が存在しないことがわかった．これは通常の分散型方程式には見られない性質であり，非線形相互作用により方程式のタイプが変化したことを明確に示すもので，本研究課題のテーマと密接に関連する成果である．
|
| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
今年度の研究で扱った非局所微分型シュレディンガー方程式は，プラズマの時間発展において波動－粒子間共鳴の影響を考慮したモデルとして1980年代には既に導出されていたものの，数学的研究は極めて少なく，初期値問題の適切性（解の存在と一意性，初期値に対する連続依存性）でさえ十分な研究がなされていなかった．その理由として，一般的な微分型シュレディンガー方程式には有効であったエネルギー法，ゲージ変換，可積分性に基づく逆散乱法などの解析手法がそのままでは適用できないことが挙げられる．本研究では方程式の非線形項に内在する散逸効果，あるいは周期境界条件下で共鳴相互作用がもたらす放物型平滑化効果を活用することにより困難を克服し，解の一意性や初期値連続依存性といった物理モデルとして期待される性質を数学的に厳密に示すことに成功した．但し，正則性が十分でない場合に初期値が小さいと仮定する必要があるなど，現時点で得られている結果は依然として限定的であり，さらなる研究が求められている．
|
| 今後の研究の推進方策 |
引き続き，非局所微分型シュレディンガー方程式の研究を行う．取り組むべき問題として，時間局所・大域可解性のための初期値の大きさに関する条件の撤廃，エネルギー有限な関数など広いクラスの初期値に対する解の一意性，非局所型非線形項の係数を零とする極限での解の収束，時間負方向への非適切性のジュブレクラスを用いた精密化，解の時間大域挙動の解明とそれに基づく初期値の分類などが挙げられる．非局所型非線形項に対応したゲージ変換を構成することが，これらの問題の解決に向けた突破口になると考えている．並行して，交付申請書に記載した研究計画に従い，より複雑な共鳴構造を持つ方程式についても解析を試みる計画である．
|
| 次年度使用額が生じた理由 |
助成金の大部分を学会参加や研究打ち合わせを目的とする国内・国外出張旅費に充てる計画であったが，コロナ禍における集会の中止・オンライン化や出張自粛要請が年度末まで続いたため助成金を活用することができず，次年度使用額が生じた．
今年度に続き，当該研究の深化のために必要となる専門図書の購入費用に充てるほか，オンライン開催される集会での成果発表やオンラインでの研究打ち合わせを効率的に進めるための機器（タブレット型PCもしくは液晶タブレット，ビデオ会議用マイクスピーカーやヘッドセット，ウェブカメラ等）の購入を予定している．また，研究成果発表や研究交流を目的とする出張・研究者招へいが可能となり次第，そのための旅費として活用する計画である．
|
