| 研究課題/領域番号 |
20K03678
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
岸本 展 京都大学, 数理解析研究所, 講師 (90610072)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| キーワード | 非線形シュレディンガー方程式 / 微分型相互作用 / 非局所型相互作用 / 初期値問題の適切性 / ゲージ変換 / エネルギー評価 |
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| 研究実績の概要 |
本研究では，非線形分散型方程式において共鳴相互作用の影響により分散型とは異なる性質が現れるメカニズムを調べている．本年（2021年）度は，微分型相互作用を持つ非線形シュレディンガー方程式（DNLS）に非局所型非線形項を付加した方程式（KDNLS）についての前年度からの研究（堤氏（京都大学）との共同研究）を継続し，新たに以下の成果を得た．
１．初期値問題の時間大域適切性，および十分に滑らかでない初期値に対する時間局所適切性は，これまで周期境界条件下で初期値が小さい場合にしか示されておらず，一般の初期値に対するこれらの問題を第一に取り組むべき未解決問題と位置付けていた．本年度はこれを，同じく周期境界条件の下で解決することができた．証明ではDNLSの解析で用いられたゲージ変換をKDNLSの非局所型相互作用に合うよう修正し，微分の損失に起因する困難を克服した．DNLSとKDNLSを共通の方法で扱うゲージ変換を構成できたことは，非局所項の係数を零とする極限での解の収束の問題へアプローチ可能となったことを意味し，極めて重要な成果である．また，DNLSの場合は時間大域解の構成に用いるエネルギー評価が初期値の大きさに関するある条件の下で成立するが，KDNLSでは非局所項に内在する散逸効果によって任意の大きさの初期値に対しエネルギーの上界評価を導出できることを見出した．これは当初予期していなかった結果であり，非線形相互作用が解の性質を大きく変化させる一例として非常に興味深いものである．
２．解の構成で用いた関数空間におけるある評価式について，先行研究の証明方法では困難が生じることを指摘し，それを示す反例を与えた．これはKDNLSの初期値問題の適切性に直接関わるものではないが，関数空間論の観点から興味深いだけでなく，今後の研究においても適切な関数空間を選択する上での指針となり得る成果である．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本年度得られた研究成果は，KDNLSの初期値問題について初期値の大きさの制限なしに時間大域解を構成した初めての結果であり，解の漸近挙動などのより発展的な研究の出発点となる顕著な成果である．また，DNLSでは同様の結果が完全可積分性という極めて強い対称性から導かれたのと比較すると，KDNLSではこれが本質的に非線形項の散逸効果のみによって示される点は興味深い．時間局所的にはこれらの方程式を同時に解析可能なゲージ変換が構成できたことから，時間大域的な挙動を司る完全可積分性と散逸性についても一纏めに扱うことができるか，という新たな問題が提起される．さらに，今回用いたゲージ変換の構成法は関数を正と負の周波数成分に分解する点でベンジャミン・オノ方程式などに用いられたものと類似しており，非局所項を含む他の方程式にも応用できると期待される．
一方で，周期境界条件を課さない数直線上の問題に対しては有効なゲージ変換を構成できておらず，任意の大きさの初期値に対する時間大域存在は依然として未解決である．また，これまでの結果はKDNLSという共鳴相互作用が解析しやすい特定の問題にとどまっており，より複雑な共鳴構造を持つ方程式や一般的な枠組みでの研究が今後の課題となる．
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| 今後の研究の推進方策 |
非局所微分型非線形シュレディンガー方程式（KDNLS）については基本的な性質がかなりわかってきたので，今後も継続して研究する計画である．本年度までに解決できていない数直線上の初期値問題の大域適切性や時間逆方向の非適切性に関するジュブレクラスを用いた解析，非局所項の消滅極限の問題に取り組むとともに，その極限方程式である微分型非線形シュレディンガー方程式において完全可積分性を用いずに時間大域挙動を制御できるかどうかについても考えたい．また，プラズマの時間発展モデルに運動論的効果を盛り込んだとされるKDNLSの導出過程の数学的正当化についても興味を持っている．これまでに習得した共鳴相互作用による放物型平滑化効果，非局所項全体の散逸効果の活用およびゲージ変換による微分損失の処理といった方針を軸に，これらの問題の解決を試みる．一方で，交付申請書に記載した研究計画に従い，より複雑な共鳴構造を持つ方程式の解析も並行して開始する．退化ザハロフ方程式などの具体的なモデルから始め，共鳴相互作用全体から放物型の性質を持つ部分を分離する有効な方法の開発を目指す．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
前年度に続き，コロナ禍での学会等への参加や研究打ち合わせのための出張および研究者招へいを見合わせたため，国内・国外出張旅費として助成金を活用することができず，次年度使用額が生じた．
次年度は研究集会への参加や共同研究推進のための海外渡航を計画しており，助成金は主として出張旅費に充てることを予定している．その他にも，本年度に続いて研究課題の遂行上必要となる専門図書の購入費用や，オンラインでの研究打ち合わせ等を効率的に行うための環境整備費用として活用する計画である．
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