| 研究実績の概要 |
2階常微分方程式の1種であるMoore-Nehari微分方程式の解の性質を研究した. この方程式を区間(-1,1)においてディリクレ境界条件の下で考察する. 0以上の整数m,nに対して, 区間(-1,0)にちょうどm個の零点を持ち, なおかつ区間(0,1)のちょうどn個の零点を持つ解を(m,n)解と呼ぶ. 任意の非負整数m,nに対して, パラメータが十分1に近い場合に, (m,n)解が存在することを証明した. mとnが異なる場合にこれらの解は偶関数でも奇関数でもない. 方程式に出てくる係数関数は偶関数であり対称性を持っているが, 偶関数でも奇関数でもない解が存在する事を証明した.
また, nを0以上の整数とするとき区間(-1,1)にちょうどn個の零点を持つ解をn-nodal 解と呼ぶ. 偶関数解と奇関数解を合わせて対称解と呼ぶ. 対称解であり,なおかつ n-nodal 解であるものをn-nodal 対称解と呼ぶ. Moore-Nehari 微分方程式の解の分岐について研究した. n-nodal対称解はパラメータに依存せずに常に一意に存在する事を証明した. また, 非線形項のべきが1より大きい場合に次のことを証明した. nが奇数の場合にn-nodal 対称解は分岐せず, nが偶数のときにn-nodal解からn-nodal非対称解が分岐する. 非線形項のべきが1より小さいときに, 次のことを証明した. nが奇数の場合にn-nodal 対称解から非対称なn-nodal解が分岐する. nが偶数のときにn-nodal 対称解から分岐は起きない. 以上の研究は, 方程式の対称性が解に引き継がれないことを意味する. すなわち, 方程式が対称であっても非対称な解が存在することを意味している. このような解の非対称性の研究はあまり行われていない. 本研究は極めて独創的な研究である.
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