| 研究課題/領域番号 |
20K03695
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| 研究機関 | 信州大学 |
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研究代表者 |
河邊 淳 信州大学, 学術研究院工学系, 教授 (50186136)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | 非加法的測度 / 可測関数空間 / 可分性 / 開球条件 / 上からの自己連続性 / 疑距離生成性 / 零加法性 / 順序連続性 |
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| 研究実績の概要 |
非加法的測度が定めるDunford-Schwartz型の距離関数を用いて，実数値可測関数全体からなる線形空間上に位相と同値関係を導入し，同値関係で割った商位相空間空間Ｆの位相的性質を考察した．得られた主要な結果は下記の通りである．
１．非加法的測度が定めるDunford-Schwartz型の距離関数は一般には三角不等式を満たさない．それゆえ，非加法的測度にどのような特性を課せば「距離関数が定める任意の開球が開集合となる」（この条件を開球条件という）かを調べることは重要である．この問題に関して，非加法的測度の上からの自己連続性が開球条件と同値であることを示した．また，非加法的測度が上から自己連続であれば，定めた位相による収束は可測関数の測度収束と同値であり，空間Ｆは第1可算公理とFrechetの分離公理を満たすことを示した．
２．非加法的測度が自己連続であるか，または上から自己連続かつ疑距離生成的であれば，空間ＦはHausdorffの分離公理を満たすことを示した．
３．空間Ｆの可分性と稠密部分集合に関しては次の結果が得られた．（a）可算基をもつ非加法的測度が順序連続かつ零加法的かつ疑距離生成的ならば，空間Ｆは可分である．（b）距離空間上の非加法的Borel測度が零加法的かつ連続ならば，自明な埋め込みのもとで，実数値連続関数全体は空間Ｆの稠密な部分集合となる．
４．空間Ｆが開球条件を満たす線形位相空間となるための必要十分条件は，非加法的測度が順序連続かつ上から自己連続かつ疑距離生成的であることを示した．
５．非加法的測度が劣加法的ならばDunford-Schwartz型の距離関数は三角不等式を満たすことを示し，非加法的測度が順序連続かつ劣加法的ならば，空間Ｆは距離付け可能な線形位相空間となることを示した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
今回の研究課題の一つである「非線形積分が定める関数空間の位相的性質の解明」に向けての不可欠かつ本質的な準備として，実数値可測関数空間上に位相と同値関係を導入し，その空間を同値関係で割って得られる商位相空間の位相的性質をほぼ解明することができた．得られた結果の一部を論文「The topology on the space of measurable functions that is compatible with convergence in nonadditive measure」としてまとめ，国際雑誌に投稿した．
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| 今後の研究の推進方策 |
申請時の研究計画・方法に基づき研究を推進する予定である．2021年度は下記の課題を重点的に研究する．
１．非加法的測度論における代表的な積算概念であるChoquet積分やSugeno積分を用いてLorentz空間とその上の距離関数を定義し，この距離関数を用いてLorentz空間上に位相と同値関係を導入する．次に，この同値関係でLorentz空間を割って得られる商位相空間を考え，その位相的性質を調べる．特に，完備性について詳細に議論する．
２．上記の議論に耐えうるようにChoquet積分とSugeno積分の収束定理を精密化する．
得られた研究成果の学会等での口頭発表や研究打合せについては，新型コロナウイルスの蔓延状況とワクチン接種の時期を勘案した上で実施する．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
新型コロナウイルスの蔓延により，研究計画で予定していた国内外への研究成果発表及び研究打合せのための出張がすべてキャンセルとなったため次年度使用額が生じた．繰り越した研究費の一部は2021年度に同じ目的で使用する．
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| 備考 |
信州大学学術情報オンラインシステムSOAR
http://soar-rd.shinshu-u.ac.jp/profile/ja.jaAaZVkh.html
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