| 研究課題/領域番号 |
20K03704
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| 研究機関 | 長崎大学 |
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研究代表者 |
熊崎 耕太 長崎大学, 教育学部, 准教授 (30634563)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | 多孔質媒体 / 自由境界問題 / 偏微分方程式 / 微視的領域 / 巨視的領域 / 数理モデル / 解の存在と一意性 / 偏微分方程式と自由境界問題の連立 |
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| 研究実績の概要 |
本研究では、多孔質媒体全体における変化を偏微分方程式、内部の微視的な変化を自由境界問題によって表し、それらの連立系の適切性を考察することにより、両変化を同時に扱うことのできる数学的枠組みを構築することが目的である。本年度得られた結果は以下である。
1. 多孔質媒体全体では、相対湿度の変化を表す拡散方程式を考える。また、多孔質媒体の1点に対して、1つの細孔に見立てた１次元区間を対応させ、その区間内では水分量の変化を表す自由境界問題を考える。このように設定することにより、物質全体の変化とその内部の微視的変化を同時に扱うことができる。自由境界問題は物質全体の1点に対応して存在しているが、昨年度は、この自由境界問題の解が多孔質媒体全体で可測であるということを示した。この結果を用い、拡散方程式と自由境界問題の連立系に対して時間局所解の存在と一意性を示すことに成功した。
2. 1.において扱った拡散方程式と自由境界問題の連立系に対して、各1次元区間における自由境界が、どの時刻においても固定境界に到達することがないことを示した上で、時間局所解の延長による方法を用いて時間大域解の存在を示した。また、方程式より得られる質量保存則を用いて、自由境界が有限となること、また方程式の構造を用いた比較原理により、自由境界問題の解が有界となることを示した。これらの結果を用いて、連立系の解に対して、時間大域的な一様評価を導出するための必要条件を導出することができた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本年度の進捗状況は以下である。
1. 物質全体（巨視的領域）における相対湿度の変化を偏微分方程式、細孔内部（微視的領域）における水分量の変化を自由境界問題によって表した連立系に対して、時間局所解および時間大域解の存在と一意性を示すことができた。これにより、両領域の変化を同時に扱うことが可能となった。また、これまでの研究では巨視的変数・微視的変数ともに強解でなければ解を構築することができなかったが、本問題においては、巨視的変数については強解、微視的変数については弱解として解の存在を示すことができた。この結果は、こうした連立系の先行研究にはない新たな知見であると考える。
2. 1.で扱った連立系の解に対して、解の有界性を示した。その結果をふまえ、解の時間大域的な一様評価を導出するために必要な条件を導くことができた。この結果は、解の時間大域的挙動を考察する上で重要であると考える。
これらの結果から、本年度の進捗状況として、順調に進展しているものと考える。次年度は、今年度達成することができた1,2の結果を用いて、微視的な変化を表す自由境界問題と巨視的な変化を表す偏微分方程式の連立系に対して、解の時間大域的な挙動を考察する。
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| 今後の研究の推進方策 |
本年度の進捗状況に基づき、次年度の研究を以下のように設定する。
本研究課題の研究計画に基づき、物質全体（巨視的領域）の変化を表す偏微分方程式と内部の細孔（微視的領域）の変化を表す自由境界問題の連立系に対する解の時間大域的な挙動を示す。方針として、解の時間大域的な一様評価を得た上で、巨視的変数と微視的変数が時間無限大において定常問題に収束することを示す。特に、微視的変数の一様評価の導出には、巨視的変数の高い正則性評価が必要になるが、こうした評価が導出できない可能性がある。そのため、まずは初期値や境界値が高い正則性を持つものから考察することを考える。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
本年度予定していた国内学会・研究会には参加することはできたが、海外研究者との研究打合せや国際学会は新型コロナウイルスの影響により開催見送りとなったため、次年度使用額が生じた。次年度使用額については、翌年度請求分と合わせて、研究成果発表や研究打合せの費用に充てる。
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