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2023 年度 実績報告書

ソボレフ臨界超臨界 の非線形偏微分方程式の解析

研究課題

研究課題/領域番号 20K03706
研究機関津田塾大学

研究代表者

菊池 弘明  津田塾大学, 学芸学部, 教授 (00612277)

研究期間 (年度) 2020-04-01 – 2024-03-31
キーワード二重べきの非線形楕円型方程式 / 正値解 / 分類 / 非退化性 / モース指数
研究実績の概要

今年度は赤堀公史氏(静岡大)、Slim Ibrahim氏(ビクトリア大)、柴田将敬氏(名城大)、Juncheng Wei氏(ブリティッシュ・コロンビア大)との共同研究の下、2重べきの非線形楕円型方程式について研究した。この二重べきのうち、一つはソボレフ劣臨界指数であり、もう一つはソボレフ臨界指数であるものを考える。この方程式は、空間3次元のときは、通常と異なり、正値解の一意性が成り立たず、少なくとも2つの異なる正値解があることが分かっている。その二つのうち、一つは、基底状態と呼ばれるものであり、もう一つは、ある最小化問題の最小元である。
一つ目の研究成果は、この方程式の正値解の分類である。具体的には、振動数が低い場合は、正値解は基底状態、もしくは、前述したある最小化問題の最小元のどちらかであることを示した。つまり、正値解は、2つしかないことが分かった。この結果は、以下を示すことが証明の鍵となる。有界な解を適当なスケール変換を施すと、その関数は、振動数を0に極限をとると、よく知られたスカラー場の正値解に収束する。一方、非有界な解を別のスケール変換を施すと、その関数は、振動数を0に極限をとると、オーバン・タレンティ関数という明示的に書ける関数に収束する。
二つ目の研究成果は、正値解の一つである最小化問題の最小元に関するものである。具体的には、この最小化問題の最小元は一意であり、非退化であることを示した。ここで、非退化であるとは、この最小元まわりで定義される線形化作用素が非自明な0固有値を持たないことである。さらに、この最小元のモース指数を調べた。モース指数とは、大まかに言うと、線形化作用素の負の固有値の数(重複度を込めて)である。この非退化性やモース指数は、今後の課題である時間発展方程式の解の大域挙動を考える上で重要な役割を果たすため、今回の成果は意義があると思われる。

  • 研究成果

    (5件)

すべて 2023 その他

すべて 国際共同研究 (1件) 雑誌論文 (2件) (うち国際共著 1件、 査読あり 2件) 学会発表 (2件) (うち国際学会 2件、 招待講演 2件)

  • [国際共同研究] ブリティッシュコロンビア大学/ビクトリア大学(カナダ)

    • 国名
      カナダ
    • 外国機関名
      ブリティッシュコロンビア大学/ビクトリア大学
  • [雑誌論文] Threshold solutions for the 3D focusing cubic-quintic nonlinear Schrodinger equation at low frequencies2023

    • 著者名/発表者名
      Hamano Masaru、Kikuchi Hiroaki、Watanabe Minami
    • 雑誌名

      Dynamics of Partial Differential Equations

      巻: 20 ページ: 263~297

    • DOI

      10.4310/DPDE.2023.v20.n4.a1

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Pitchfork Bifurcation at Line Solitons for Nonlinear Schrodinger Equations on the Product Space ${\mathbb {R}} \times {\mathbb {T}}$2023

    • 著者名/発表者名
      Akahori Takafumi、Bahri Yakine、Ibrahim Slim、Kikuchi Hiroaki
    • 雑誌名

      Annales Henri Poincare

      巻: 1 ページ: 1~31

    • DOI

      10.1007/s00023-023-01370-6

    • 査読あり / 国際共著
  • [学会発表] Positive solutions to stationary double power nonlinear Schrodinger equations2023

    • 著者名/発表者名
      菊池弘明
    • 学会等名
      発展方程式とその周辺ーエネルギー構造と解の定量的解析ー
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Positive solutions to stationary double power nonlinear Schrodinger equations2023

    • 著者名/発表者名
      菊池弘明
    • 学会等名
      Non-compactness phenomena on critical problems and related topics
    • 国際学会 / 招待講演

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公開日: 2024-12-25  

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