| 研究課題/領域番号 |
20K03707
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| 研究機関 | 東京理科大学 |
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研究代表者 |
立川 篤 東京理科大学, 理工学部数学科, 嘱託教授 (50188257)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| キーワード | 変分問題 / 弱解の正則性 / double phase / p(x)-growth / partial regularity |
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| 研究実績の概要 |
2021度に引き続き，double phaseタイプと呼ばれるタイプで，変動する指数を持つタイプの汎関数の最小点を与える写像の正則性に関して研究を進めている．具体的には，(|Du|のp(x)乘）＋a(x)|Du|のq（x）乘もしくは(|Du|のp(x)乘）＋a(x)(|Du|のp(x)乘)log(1+|Du|)の積分で与えられるタイプの汎関数を扱っている．ここで，Duはm-次元ユークリッド空間の有界領域Ω上で定義されｎ次元ユークリッド空間に値を持つ未知関数uの微分，p(x), q(x), a(x)はいずれもΩ上で定義された連続関数で，q(x)は各点でp(x)以上，p(x)は１より真に大きく，a(x)は０以上の値を取る関数とする．以下，前者をp(x)-q(x)タイプ，後者をp(x)-p(x)logタイプと呼ぶ．どちらのタイプも，a(x)=0となる集合の境界上で，いわゆるgrowth orderが不連続的に変わることが正則性の問題を困難にしている．
2020年度よりCatania大・Ragusa教授との共同研究でp(x)-p(x)logタイプの汎関数の最小値を与える写像の正則性を研究していたが，未知関数の微分Duのヘルダー連続性まで得ることができた．これは通常期待される最善の結果とみなすことができ，この研究はほぼ完成したと言ってよく，現在論文にまとめている．
一方，p(x)-q(x)タイプの汎関数について, |Du|をx,uに依存する係数行列によるDuの２次形式A(x,u)DuDu（Aは Ω×（n-次元ユークリッド空間）上で定義された対象なテンソル場で一様楕円性条件を満たすものとする）の平方根で置き換えたタイプの汎関数を研究し，部分正則性に関する結果を得ることができた．これはすでに論文としてまとめ，現在投稿中である．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
2021年度同様，2022年度前半はコロナ禍の影響で海外出張，外国人招聘もできなかったため共同研究者・Maria Alessandra Ragusa 教授（カターニア大・イタリア）と研究連絡もままならなかったが，zoomによって研究連絡を行い，なんとか研究成果を得ることができた．
2022年度後半からは海外渡航の手続き上の困難さはだいぶ解消されたが，急激な円安と，ポストコロナのホテル需要の高まりの影響で，日本円に換算した海外のホテル代が高騰し，本学規定の枠内では滞在費を賄うことが難しく，海外渡航は控えてしまった．そのため研究遂行には窮屈な状況であることに変わりはなく，予定通りには研究が進められなかった．Ragusa教授との研究連絡も次のステップに進みたいところではあるが，そのためには対面での研究連絡が不可欠であり，思うように進展させることはできなかった．
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| 今後の研究の推進方策 |
研究の内容としては，これまで通りdouble phaseタイプと，変動する指数を持つタイプ，さらにはそれらのハイブリッドタイプの汎関数の最小を与える写像の正則性について研究を進めていく予定である．
私の研究では，共同研究者たちと直接会って意見交換・討議することが重要で，海外との行き来が３年間も不自由で，非常に困難な状況であった．zoomを利用しての研究連絡・議論はそもそも隔靴掻痒の感を免れ得ないうえ，時差の関係もあり，十分に機能したとは言い難かった．
やっと世界的に「コロナ後」と言える状況になりつつあり，今年度こそは対面での研究連絡・議論を充実させていきたい．現時点では秋頃を目処にCatania大への出張を考えているが，異常な円安のため規定の滞在費の枠内では大幅に「足が出る」可能性もあり，実現できるかどうか不確かである．
また，関係する研究者を研究連絡のために招いて，研究の活性化を図りたい．しかし，日本国内のホテル代も高騰しており，規定の滞在費で実際の滞在費を十分に賄えるかどうかは微妙であり，招聘にも慎重にならざるを得ない．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
本研究課題では，海外の共同研究者との研究打ち合わせが極めて重要で，そもそも申請時の予算において旅費が大きな割合を占めていた．しかし，コロナ禍により，海外出張が困難な状態となり，2020年度~2022年度において予算を使い切れず，かなりの次年度使用額が生じてしまった．
使用計画としては，海外出張ができる状況になれば，これまでの研究の遅れを取り戻すべく，海外出張を再開する予定である.さらには，関係する外国人研究者を招聘し．小規模な研究集会を開くなどして，研究の活性化を図りたい．
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