| 研究課題/領域番号 |
20K03757
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| 研究機関 | 明治大学 |
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研究代表者 |
池田 幸太 明治大学, 総合数理学部, 専任准教授 (50553369)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | 応用数学一般 / 中心多様体縮約理論 / 時間遅れ微分方程式 |
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| 研究実績の概要 |
研究課題1ではパルス解の集団運動に対する中心多様体縮約理論の確立を目標としている。目標達成には以前の研究における基底空間を修正する必要がある。具体的には、方程式の特殊性を考慮して方程式に含まれるデルタ関数の一部を消去し、L2空間を基底空間として取るのである。しかしながらデルタ関数の影響が一部に残存するため、既存の中心多様体論を修正無しに適用することはできない。そこで、樟脳船に関するモデル方程式を改めて取り上げ、デルタ関数を含む系における中心多様体縮約理論をL2空間で構成することを目標とし、これに成功した。現在、この結果をまとめた論文を学術雑誌に投稿中である。実は、縮約方程式が以前よりも詳細な情報を有するため、樟脳粒の集団運動に現れるクラスターの特徴付けが可能となった。さらに、研究課題で本来対象としたFHN方程式に対しても同手法が適用可能であることも形式的には確認済みである。
研究課題2については、パルスの位置を表す関数が満たす時間遅れ項付き微分方程式における時間周期解の存在を保証することが当初の目標である。既存の理論により時間周期解が存在することを保証した結果を既に得ており、論文を学術雑誌に投稿中である。実はこの結果を得る際、時間遅れパラメータが十分大きいという技術的な仮定があるため、十分な結果は得られていなかった。そこで2021年度では、抑制的な相互作用パラメータだけを変化させた際に現れる時間周期解を対象とした。まず解のパラメータ依存性を数値的、解析的に明らかにした。この結果から時間遅れ項付き微分方程式を書き換えることができ、ノコギリ型の時間周期解が現れることが分かった。この解は急峻な変化を持つ箇所となだらかな変化をする箇所を持つことから、いわゆる特異摂動解として特徴づけられるだろう。現在この解の存在を証明するため、解析を進めている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究課題１に関して2021年度に得られた結果は、パルス幅の時間変化を考慮した中心多様体理論の確立と適用という目標に対して大きく資するものと考えている。FHN方程式等の反応拡散方程式系に現れるパルス解は、拡散係数などのパラメータに対して適当な極限を取ることで不連続点を有する解に収束する。そのため、対象となる方程式には自然とデルタ関数が現れる。既に形式的な計算を通じて、2021年度に確立した中心多様体縮約理論は、実際にFHN方程式にも適用可能であることが分かっている。以上のように、本研究を推進する上での土台が固まり、2021年度に得られた結果は大きいと考えている。一方で、当初の研究計画はから大きく予定変更せざるを得ない部分も少なくない。本研究を推進する上では海外の研究協力者からの理論の提供が必須であった。海外出張が制限されている現状のためこの計画変更はやむを得ないが、これまでに得られた結果をまとめた論文を作成するなど、現在できる範囲で研究推進を続けている。
研究課題２については、特異摂動解として捉えられる解の発見により、申請時には想定していなかった新たな局面を迎えている。2021年度中に、時間遅れ方程式と特異摂動法の関連を調べた。時間遅れ方程式の専門家と共同でのセミナーの開催や研究議論を通じて情報共有を行った。その中で「サンスター」等の重要な概念の存在を知るに至った。これは特異摂動解の構成に資するものであると考えている。
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| 今後の研究の推進方策 |
研究課題1について、2021年度に確立した中心多様体縮約理論をFHN方程式に適用する。既に行った形式的な計算により、縮約方程式の導出が可能であると予想している。一方、FHN方程式ではパルス幅が変化しうるといった、樟脳粒のモデル方程式では起こり得ない状況を鑑みる必要がある。厳密な結果を得るため、精密な検証を行う。実は樟脳粒のモデル方程式に対する縮約方程式の解析結果から、クラスターと呼ばれる集団運動は特定の条件下で不安定化することが分かっている。このような現象はFHN方程式では知られていない。縮約方程式の違いを考察しつつ、パルス波の集団運動の定性的な性質も調べることとする。
研究課題２について、FP方程式から縮約して得られた時間遅れ項付き微分方程式において、時間周期解のより詳細な特徴づけを行う。パラメータの極限を取って得られる解には不連続点が発生したり、その導関数の値が発散したりするなど、いわゆる特異摂動法の適用範囲と考えている。研究代表者は同手法を使った研究をこれまでに複数行っており、解析する準備はある程度整っている。しかしながら2021年度に時間遅れ問題における特異摂動法の適用例を調査したところ、時間遅れが無い場合には起き得ない事象が起こり得ることが分かった。また、そもそも特異摂動法の適用例自体が少なく、本研究課題に必要な情報が不足していると感じている。そこで、2022年度も先行研究の調査を継続することから始める。これと並行して、既存の理論を順次試すことで、特異摂動解を厳密に構成することを目標とする。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
2021年度には海外・国内での出張を予定していた。しかしながら、新型コロナウィルス蔓延に伴い、移動制限が発せられ、国内出張の多くをキャンセルし、海外出張は全くできなかった。特に2022年1月末にパリで発表予定であった国際学会への出張費用を確保していたが、2021年末に出張計画をキャンセルしたため、ぎりぎりまで研究費の使用計画を立てることができなかった。また、年度末ぎりぎりまで台湾への出張計画についても見極めていたが、キャンセルせざるを得なかった。以上の理由から、2021年度実績が計画当初から大きく変更せざるを得なかった。2022年度中には状況が好転する可能性がある。この場合、2021年度に予定していた出張を実施する予定であり、2021年度分ともあわせて実施する予定である。
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