| 研究課題/領域番号 |
20K11697
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| 研究機関 | 東京都立大学 |
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研究代表者 |
室田 一雄 東京都立大学, 経営学研究科, 教授 (50134466)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | 離散凸解析 / 最適化理論 / 数理工学 / 情報基盤 / アルゴリズム / 経済理論 / 情報基礎 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的は，離散凸解析の双対理論を軸に据えて，離散資源の公平配分問題に関する理論とアルゴリズムを構築することである．この目的に沿って，以下の成果を得た．
離散凸解析においては，Ｍ凸関数，Ｌ凸関数，整凸関数，マルチモジュラ関数など，種々の関数クラスが考察されるが，それぞれの関数クラスにおいて許容される演算は異なり，連続変数とは異なる注意が必要である．今年度の研究においては，ネットワークによる変換に関係する演算に焦点を絞り，それぞれの関数クラスに許容される演算を網羅的に整理した．これによって，様々な分野の研究者が離散凸解析の成果を容易に利用できるようになる．
ジャンプシステム上のＭ凸関数の概念は，グラフのマッチングや多項式の安定性解析などに利用されてきたが，マッチング問題への応用においてはその概念を幾分拡張することが必要であることが，最近，高澤によって指摘された．本研究では，これに整合する形でジャンプシステム上のＭ凸関数の概念を拡張するとともに，この拡張が元の概念と本質的に等価であることを意味する定理を与えた．これによって，ジャンプシステム上にもＭ＃凸関数にあたる概念が整備されたことになる．
離散凸解析に基づいて離散資源の公平配分問題を扱う際に中心的な役割を果たす事実は，離散凸集合上の変数分離凸関数に対する離散双対定理である．既存の成果は，離散凸集合として，Ｍ凸集合，Ｌ凸集合などを個別に対象とする集合体であったが，本研究においては，完全双対整数性をもつ整数多面体を対象とする統一的な離散双対定理を与えた．この定理は，離散資源の公平配分問題への応用とは独立に，離散凸解析の根幹を進歩させる重要な成果である．この成果は，ハンガリー人研究者との共同研究によって得られた．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究の目的は，離散凸解析の双対理論を軸に据えて，離散資源の公平配分問題に関する理論とアルゴリズムを構築することである．今年度は初年度であったが，ネットワーク変換に関係する演算の網羅的な整理やジャンプシステム上のＭ凸関数の概念の拡張など，離散凸解析の基礎事項をさらに確固なものとすることができた．さらに，完全双対整数性をもつ整数多面体上の離散変数分離凸関数に関する双対定理を確立できたことにより，離散凸解析によって扱える離散資源の公平配分問題の範囲が大幅に拡張された．また，ソフトウェアの整備については，海外研究者からのフィードバックをもとに，Ｍ凸関数の判定に関するアルゴリズムの改良に取り組んだ．以上のように，進捗はほぼ予定通りで，研究はおおむね順調に進展したと言える．
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| 今後の研究の推進方策 |
離散資源の公平配分問題の理論については，ネットワークフローやＭ凸集合（基多面体）上の配分問題について詳細な理論的検討を行う．また，2020年に田村明久氏との共同研究結果として発表した「整凸関数の整数劣勾配の存在定理」が整凸関数に対する離散双対定理を確立するために利用できるかどうかを検討する．これによって，最近になって専門家の間で認識された整凸性と完全双対整数性の密接な関係について，より深い理解が得られるものと期待している．ソフトウェアについては，引き続き，離散凸関数の応用に関するソフトウェアとデモンストレーションをWeb上に整備する．
これらの研究の遂行のために，以下の方々に協力研究者として協力を仰ぐ予定である：種々の資源配分問題のアルゴリズムの開発に関してAndras Frank氏（ハンガリー，エトヴェシュ大学），整凸関数の性質の解明に関して田村明久氏（慶応義塾大学），Ｍ凸性の判定アルゴリズムの改良に関して森口聡子氏（東京都立大学），離散凸関数に関するソフトウェアとデモンストレーションの整備に関して土村展之氏（関西学院大学）．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
当初予期し得なかったCOVID-19感染症の世界的拡大が未だ終息せず，出張の中止が発生し,出張旅費がかからなくなった．また，この影響は国内での共同研究の遂行にも若干の影響を与えた．研究を進めていく上で必要な経費を執行したが，当初の見込み額と執行額に差異が生じた.
次年度に請求する研究費と合わせて，物品費に充てることとし，もし出張が再開できるようになれば国内・外国出張旅費に充当する予定である.
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