| 研究課題/領域番号 |
20K11702
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| 研究機関 | 日本大学 |
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研究代表者 |
小池 健一 日本大学, 商学部, 教授 (90260471)
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| 研究分担者 |
橋本 真太郎 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 准教授 (60772796)
赤平 昌文 筑波大学, 数理物質系(名誉教授), 名誉教授 (70017424)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | ベイズリスク / 情報不等式 / Borovkov-Sakhanenkoの不等式 / van Treesの不等式 |
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| 研究実績の概要 |
統計的推測理論において、推定量の良さはリスクを用いて測ることが重要である．ベイズ推測では、ベイズリスクを用いて評価を考える．ベイズリスクの評価を与える不等式には様々なものが存在し、van Trees (1968)やBorovkov and Sakhanenko (1980)によるものがよく知られている．不等式の等号を達成する推定量を有効推定量というが、有効推定量であれば効率よく推定できることになり、推定量の評価は適切になる．しかしながら、これらの不等式の達成については、これまで殆ど何もわかっていなかった．唯一ある文献としては、Targhetta (1988)があるが、これは自然母数をもつ指数型分布族において、共役事前分布を用いて、被推定関数としては自然母数自身だけを扱い、しかもvan Treesの不等式だけを対象としていて、内容は限定的と言わざるを得ない．
当該年度において、van Treesの不等式とBorovkov-Sakhanenkoの不等式の両方に対して、確率モデルが（自然母数とは限らない）指数型分布族で、事前分布が共役事前分布の場合に、一般の被推定関数を扱い、しかもvan Treesの不等式とBorovkov-Sakhanenkoの不等式の等号達成条件を求めた．ベイズ推測において、解析的な解を必要とする際には、指数型分布族と共役事前分布を用いることがほとんどである．このような際に、リスクに対する不等式の等号達成の必要十分条件を得られたことは、実質上の意義は大きいと言える．また、無情報事前分布として標準的であるJeffreysの事前分布の際にも、等号達成の必要十分条件を得ることができた．これらをまとめたKoike(2021)は、Targhetta (1988)の結果を大幅に拡張した結果となっている．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
Koike (2021)において、ベイズリスクに対する最適な下界を得ることができた．このことは，Targhetta(1988)の結果を大幅に拡張した結果となっている．実際、ベイズ推測において、解析的な解を必要とする際にはほぼ必ず用いられる、指数型分布族の下での共役事前分布に対して、不等式の等号達成条件が何を意味しているかを示すことができた．被推定関数についても、母数自身のみならず、母数の関数を対象とし、どのような関数であれば等号が達成しうるかを明らかにできた．等号達成条件を考える際には、Fisher情報量などの情報量が計算可能であることが要請されるが、今回の設定は現時点で考えうるうちで、最も広い条件と思われる．また、事前に情報がないときに、無情報事前分布としてJeffreys事前分布を考えることは、通常である．この際にもFisher情報量の値が必要となるが、その際にも確率モデルが指数型分布族であることが重要である．この場合にも、解析的な解を得ることができた．
様々な下界に対する漸近的な評価に関しても、良い結果が少しずつ得られているので、順次発表していきたいと考えている．
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| 今後の研究の推進方策 |
大標本、すなわちサンプルサイズが大きいときにベイズ型情報不等式の下界の比較を行うことが次の目標の一つである．推定量のベイズリスクに対する効率を測る際には有効であるか否かが指標の一つであることから、推測理論における重要な課題であるといえる．しかしながら、Koike(2021)によれば、サンプルサイズが固定されている場合には、等号達成は限定的であることがわかった．では、リスクの評価式として不等式は役に立たないかというとそうではない．サンプルサイズをnとすると、一般にベイズリスクは1/nの次数を持つので、ベイズリスクの評価式をn倍して極限を取ることで、基準化したベイズリスクの評価式を考えることができる．この不等式の等号達成を漸近有効と呼ぶことにすれば、どのような確率モデルに関してどのような条件下でどのような漸近有効となるか、また，どのような事前分布の下で漸近有効となるかを明らかにしたい．さらに、未知母数のいくつかが確率分布に従い、残りは定数であるとみなすhybridモデルにおいては、依然としてvan Trees型の不等式が用いられているようである（van Trees and Bell (2007)）．これについても、漸近的な改良の余地があるように考えられるので、下界の改良を試みたい．その際には、漸近的に最適な下界を得ることができる可能性がある．もし漸近的に最適な下界が得られれば、少なくとも大標本を考える際にはそちらを用いるべきであり、最尤推定量などの評価やミニマックスリスクの評価には適さない．さらに、具体的に確率モデルを設定し、事前分布を与えた上でベイズリスクの真の値を求めて、実際の下界との比較を行う必要がある．その場合、有効性の具体的な評価が難しいことが期待されるので、コンピュータによる数値実験を行いつつ、評価の方法を検討する．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
新型コロナウイルス感染拡大のため，出張が困難になったため．次年度において出張の可否が不明であるが，可能であれば旅費として使用したい
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