| 研究課題/領域番号 |
20K14279
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| 研究機関 | 京都産業大学 |
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研究代表者 |
中嶋 祐介 京都産業大学, 理学部, 助教 (20783096)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | ダイマー模型 / クレパント特異点解消 / 非可換クレパント特異点解消 / トーリック特異点 / cDV特異点 / 箙の表現 / modifying加群 / マッカイ対応 |
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| 研究実績の概要 |
実2次元のトーラス上に描かれた二部グラフを「ダイマー模型」と呼ぶ。3次元Gorensteinトーリック特異点の「射影的クレパント特異点解消」は、ダイマー模型に付随する箙の表現のモジュライ空間として記述できることが知られている。この特異点解消は一意的に存在するとは限らないが、箙に対して定義される「安定性パラメータ」を取り替えることによって、すべての射影的クレパント特異点解消を構成することができる。安定性パラメータの集合は「部屋構造」を持っており、同じ部屋に属するパラメータからは同型なクレパント特異点解消が得られるが、壁を越えて別の部屋に移るとクレパント特異点解消の構造も変わり得る。一方、ダイマー模型からは、3次元Gorensteinトーリック特異点の「非可換クレパント特異点解消」も構成することができる。これはクレパント特異点解消と導来同値となる非可換代数であり、「極大modifying 加群」の自己準同型環として記述される。非可換クレパント特異点解消も一意的に存在するとは限らないが、極大modifying 加群の「変異」という操作によって関連付けられる。トーリックcDV（compound Du Val）特異点の場合には、上記の部屋構造における壁越えを極大modifying 加群の変異により記述できることが知られており、表現論的視点から射影的クレパント特異点解消を考察することができる。
今年度の研究では、トーリックcDV特異点の場合について、上記の部屋構造と壁越え（および対応する変異）をダイマー模型の組合せ論的性質を用いて考察した。その結果として、部屋構造・壁越えをダイマー模型の「ジグザグ道」を用いて記述することができた。本研究に関しては、現在論文を執筆中である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
トーリックcDV特異点の場合のクレパント特異点解消・非可換クレパント特異点解消について、ダイマー模型の組合せ論を用いた新たな知見が得られたため。
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| 今後の研究の推進方策 |
今年度トーリックcDV特異点に対して得られた結果を、一般の3次元Gorensteinトーリック特異点へ拡張する研究を行う。また、より高次元のトーリック特異点の非可換クレパント特異点解消の構成・変異に関する研究を行う。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
今年度前半は、新型コロナウイルス感染拡大の影響が色濃く、多くの研究集会がオンラインでの開催となり、当初予定していた旅費の使用がなかったため。繰り越し分は、来年度開催される研究集会や、研究打ち合わせのための旅費とする予定である。
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