| 研究課題/領域番号 |
20K14281
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
藤田 直樹 東京大学, 大学院数理科学研究科, 日本学術振興会特別研究員 (40866357)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | トーリック退化 / 旗多様体 / Newton-Okounkov 凸体 / marked chain-order 多面体 / クラスター代数 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的はクラスター代数の理論を用いて旗多様体のトーリック退化に対する統一的な理解を与え, シンプレクティック幾何学へ応用することである.
昨年度の東谷章弘氏との共同研究において, 報告者は半単純代数群の有限次元既約表現に入る特別なフィルトレーション (PBW-フィルトレーション) の構造を反映した FFLV (Feigin-Fourier-Littelmann-Vinberg) 多面体がクラスター代数構造から定まる Newton-Okounkov 凸体と組合せ論的変異の繰り返しで移り合うことを証明した. ここで FFLV 多面体は marked chain-order 多面体と呼ばれる特殊多面体を経由してクラスター代数構造から定まる Newton-Okounkov 凸体へ移る. そのため marked chain-order 多面体を旗多様体の Newton-Okounkov 凸体として実現できるのかが重要な問題となっていた. 今年度は A 型の場合にこの問題を肯定的に解決し, 応用として旗多様体が marked chain-order 多面体に対応する既約正規射影トーリック多様体へ平坦に退化することを証明した. さらに特殊線形群の有限次元既約表現の基底であって marked chain-order 多面体の格子点集合によって自然にパラメトライズされるものを構成した. この基底は Feigin-Fourier-Littelmann および Fang-Fourier-Littelmann によって導入された essential basis の自然な類似物となっている.
marked chain-order 多面体に関する研究のきっかけとなった東谷章弘氏との共同研究をまとめた論文が International Mathematics Research Notices からオンラインで公表された.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
前半の研究の目標である A と X という二種類のクラスター座標から定まる Newton-Okounkov 凸体たちの比較について, 具体的な形で問題を定式化することに成功した. これを Grassmann 多様体の場合に考察することで X-クラスター多様体のコンパクト化から定まるトーリック退化との関係を見出せると考えている.
また A 型の marked chain-order 多面体を Newton-Okounkov 凸体として実現することに成功し, クラスター代数構造から定まる Newton-Okounkov 凸体と FFLV 多面体が Newton-Okounkov 凸体を経由して移り合うことを導いた. この結果は次年度以降の研究の応用範囲を広げるものであり, 本研究の marked chain-order 多面体への応用が期待される.
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| 今後の研究の推進方策 |
次年度の前半では Grassmann 多様体の場合に A と X という二種類のクラスター座標から定まる Newton-Okounkov 凸体たちを関連付ける. 特別な Grassmann 多様体に対しては Bossinger-FriasMedina-Magee-NajeraChavez によって, クラスター座標から定まる Newton-Okounkov 凸体とクラスター多様体のコンパクト化から定まるトーリック退化が関連付けられているので, 一般の場合を考察するための良いモデルケースになると期待している.
次年度の後半では Grassmann 多様体の場合をモデルに一般のクラスター多様体を考察する. Bossinger-FriasMedina-Magee-NajeraChavez の理論によって得られるのは X-クラスター多様体の部分コンパクト化のトーリック退化であり, 完全にコンパクト化されているとは限らない. そのため Grassmann 多様体のように完全なコンパクト化のトーリック退化が存在し得る場合に限って考察する.
並行して階数の低い具体的な場合に完全可積分系が変異によってどう変化するのかも計算する.
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| 次年度使用額が生じた理由 |
新型コロナウイルス感染症 (COVID-19) の感染拡大により, 予定していたケルン大学 (ドイツ) への研究訪問が延期となったため次年度使用額が生じた.
翌年度分として請求した助成金とともに延期となった研究訪問の旅費および COVID-19 の感染拡大によりオンラインとなった研究集会への対応などに使用する.
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