| 研究実績の概要 |
本研究の目的はクラスター代数の理論を用いて旗多様体のトーリック退化に対する統一的な理解を与え, シンプレクティック幾何学へ応用することである. 今年度の研究では後半の研究の目標である旗多様体のクラスター構造から生じる完全可積分系がトロピカル変異によって移り合うかどうかを解明することはまだできていないが, 旗多様体のクラスター構造から生じる Newton-Okounkov 凸体を階数が小さい場合に分類し次の結果を得た.
旗多様体のクラスター構造から生じる Newton-Okounkov 凸体はシードと呼ばれるデータごとに1つ与えられ, シードを取り換えると対応する Newton-Okounkov 凸体は頂点の個数が変わるなどの異なる組合せ論的性質を持つ. そのためユニモジュラー同値という多面体の組合せ論的性質を保つ同値関係によって, クラスター構造から生じる Newton-Okounkov 凸体たちを分類することは重要な問題である. ユニモジュラー同値な多面体に対応するトーリック多様体は同型であるため, この問題は旗多様体のクラスター構造から生じるトーリック退化の退化先を分類する問題とみなすこともできる.
報告者は Sungkyunkwan University の Yunhyung Cho 氏, 大阪大学の東谷章弘氏, および Chungbuk National University の Eunjeong Lee 氏との共同研究において, 旗多様体の階数が小さい場合にこの問題に取り組んだ. 具体的には階数3のA型旗多様体の場合にクラスター構造から生じる Newton-Okounkov 凸体を分類し, Newton-Okounkov 凸体のユニモジュラー同値類を保つような involution であって, ディンキン図形の involution から誘導されるものとは本質的に異なるものが存在することを見出した. この involution は一般の階数の場合にもクラスター構造から生じる Newton-Okounkov 凸体を分類するための手がかりになると期待できる.
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