| 研究課題/領域番号 |
20K14284
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
越川 皓永 京都大学, 数理解析研究所, 助教 (10791452)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | 志村多様体 / 局所Langlands対応 / K3曲面 / Hodge標準予想 / p進Hodge理論 / プリズマティックコホモロジー / 対数的幾何 |
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| 研究実績の概要 |
Fargues-Scholzeによる局所Langlands対応の幾何化の仕事を応用することで、一般線型群の局所志村多様体（Rapoport-Zink空間としても知られている）のコホモロジーの消滅定理を証明した。これはCaraiani-Scholzeによるユニタリ型志村多様体のコホモロジーの消滅定理の類似である。また、同様のアイデアを用いることで、Caraiani-Scholzeの消滅定理自体の大幅な技術的改善にも成功した。関連して、局所志村多様体のコホモロジーに対して、Eichler-志村関係式の一般化といえるようなものがFargues-Scholzeの仕事から導出できることも考察した。
K3曲面のCM持ち上げとTate予想についての論文が出版された。この延長として、K3曲面の自己積（2つの積の場合）に対しHodge標準予想が証明できることを発見し、論文を準備中である。また、3つ以上の自己積の場合にもAnconaの結果と組み合わせることで数値的Hodge標準予想が様々なケースで証明できる見込みである。（伊藤和広氏、伊藤哲史氏との共同研究）同様のアイデアで、特別なアーベル多様体（例えば、素数次元単純アーベル多様体の自己積）の場合にも数値的Hodge標準予想が証明できることも発見し、先に論文にまとめた。
引き続き、整p進Hodge理論の研究を行った。対数的プリズマティックコホモロジーの理論の基礎的部分の技術的課題がほぼ解決し、論文を準備中である。（部分的にZijian Yao氏との共同研究）Bhatt-Lurie, Drinfeldのスタック的アプローチの対数版についてのアイデアも得た。
また、Ildar Gaisin氏との相対版Ainfコホモロジーの論文がほぼ完成した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
Caraiani-Scholzeの消滅定理の大幅な技術的改善に成功した。これは理想的な改善であるだけでなく、その証明方針はさらなる一般化が可能といえるものである。これは当初の予想以上の成果である。
K3曲面の自己積等に対するHodge標準予想（あるいはその数値的版）は、以前からの研究の延長とはいえるもの、全く予期していなかった結果である。
整p進Hodge理論についてはおおむね順調に技術的課題が解決できた。
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| 今後の研究の推進方策 |
K3曲面の自己積のHodge標準予想の論文を完成させる。また、高次の自己積に対する数値的Hodge標準予想についての研究を進める。
対数的プリズマティックコホモロジーについての理論を整備し、論文を完成させる。
志村多様体のコホモロジーの消滅定理に対する新しいアプローチはさらなる一般化の方向があるため、これを検討する。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
コロナ禍において、国内外の研究集会が中止・延期・オンライン開催となったためである。研究集会は徐々にハイブリッド・対面で行われつつあるため、旅費として使用する見込み予定である。
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