| 研究課題/領域番号 |
20K14285
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
南出 新 京都大学, 数理解析研究所, 特定研究員 (60802717)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | 遠アーベル幾何 / 完備離散付値体 / 絶対ガロア群 / スリム性 / エラスティック性 / 強非分解性 / グロタンディーク・タイヒミューラー群 / 宇宙際タイヒミューラー理論 |
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| 研究実績の概要 |
2020年度は、辻村昇太氏と共同で（局所体の一般化である）完備離散付値体の遠アーベル的性質について研究を行った。具体的には、例えば、次のような結果を得た。以下、体Kに対し、その絶対ガロア群をG(K)と書くことにする。
(1) 遠アーベル幾何と密接に関連した群論的性質として、副有限群のスリム性（＝任意の開部分群が中心自明）、エラスティック性（＝任意の開部分群の位相的に有限生成な非自明正規閉部分は開）というものがある。例えば、Kがp進数体の最大不分岐拡大体の完備化の有限生成拡大体の部分体の場合、G(K)がスリム性をみたすことが望月新一氏により示されていた。我々はこの結果を、Kが混標数ネーター局所整域の商体の部分体の場合に一般化した。一方、Kがp進数体の有限次拡大体の場合、G(K)がエラスティック性をみたすことが望月新一氏により示されていた。我々はこの結果を、Kが混標数完備離散付値体の場合に一般化した。また、混標数高次元局所体の有限生成拡大体の部分体上の種数0の双曲的曲線に対し、「グロタンディーク予想の弱いバージョン」が成り立つことを示した（論文投稿中）。
(2) 遠アーベル幾何と密接に関連した別の群論的性質として、副有限群の強非分解性（＝任意の開部分群は非自明な直積分解を持たない）というものがある。例えば、Kがp進数体の有限次拡大体の場合、G(K)が強非分解性をみたすことが知られていた。我々はこの結果を、Kが混標数完備離散付値体の場合に一般化した。また、研究代表者が以前提起した「グロタンディーク・タイヒミューラー群は強非分解性をみたすか」という未解決問題についても考察し、これを肯定的に解決した（論文投稿中）。
また、望月新一氏、Ivan Fesenko氏、星裕一郎氏、Wojciech Porowski氏と共同で宇宙際タイヒミューラー理論の明示的計算に関する研究も行った（論文投稿中）。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
当初の計画では、特定のクラスの混標数完備離散付値体の絶対ガロア群について、そのスリム性、エラスティック性、強非分解性を検証する予定であったが、一般の混標数完備離散付値体の場合について、それらの性質を証明することができた。また、以前から未解決であった「グロタンディーク・タイヒミューラー群は強非分解性をみたすか」という問題を解決できたことも、意義深いと思われる。
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| 今後の研究の推進方策 |
2020年度に得られた結果の発展・応用・精密化を模索していく予定である。また、研究計画調書に記載した本研究課題に対するアプローチは大きな発展の余地があると思われるので、今後より詳細に検証していきたい。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
（理由）新型コロナウイルス蔓延により出張を行うことができず、旅費を使用することができなかった。
（計画）次年度使用額は、新たに必要となった、研究関連書籍の購入に充当される予定である。
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