| 研究課題/領域番号 |
20K14295
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| 研究機関 | 慶應義塾大学 |
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研究代表者 |
大下 達也 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 特任助教 (70712420)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | 整数論 / 岩澤理論 / イデアル類群 / 楕円曲線 / Selmer群 / Galoisコホモロジー |
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| 研究実績の概要 |
平之内俊郎氏（九州工業大学）と共同で、有理数体に楕円曲線Eのp冪ねじれ点を添加した拡大塔{K_n}に沿ったイデアル類群のp-Sylow部分群の構造に関する研究を行った。山内卓也氏、西来路文朗氏、平之内氏らの先行研究により、楕円曲線EのMordell-Weil群の階数によって拡大塔{K_n}に沿ったイデアル類群のp-Sylow部分群の位数の漸近的下界が与えられることが知られており、私は過去にこれらの先行研究のGalois表現への一般化の研究を行ったことがある。本研究では、楕円曲線の岩澤理論の観点を取り入れて私の過去に用いた手法を発展させることで、イデアル類群の構造に関するより詳細な情報を取り出せないかを検討した。本年度の研究では特に、Galoisコホモロジーを用いて問題を定式化して「楕円曲線の定める法p^n ガロア表現の反傾表現」によって切り取られるK_nのイデアル類群のある剰余加群A_nと楕円曲線の精Selmer群の比較を行った。この研究で得られた知見は、A_nの漸近挙動を解析する上での手掛かりになると期待できる。
上記の研究に加えて、本年は、坂内健一氏らと共同で、新谷生成類（与えられた総実代数体FのLerchゼータ関数の非正整数での値を生成するような、Fに付随するある種の代数トーラスから単位元を除いた空間達の非交和をFの乗法群の作用で割った商空間Xの同変de Rhamコホモロジーの元）に関連する諸問題についての多角的な検討も行った。特に、総実代数体のHecke L関数についてのBeilinson予想とも関連のあるトピックとして『Fに付随する代数トーラスのポリログ類のHodge実現（Xの同変Deligne-Beilinsonコホモロジーの元）の構成』および『構成したポリログ類のHodge実現と（ポリログ類のde Rham実現と期待される）新谷生成類との関係』について議論した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本年は新型コロナウイルスの流行により、研究室への立ち入りが困難な状況ではあり、更に対面での打ち合わせができない状況であったが、在宅での研究、メールやZoom等を用いた研究打ち合わせにより、円滑に研究を遂行することが出来た。
また、平之内氏との共同研究は、当初の計画にはなかったものではあるが、本研究を通して、「楕円曲線のp冪ねじれ点を添加した拡大塔」に沿ったイデアル類群の挙動の研究への岩澤理論の応用に関する新しい知見が得られた。この知見は、本研究のテーマの1つである「高次Fittingイデアルを用いた岩澤理論の精密化の拡張」の観点からも重要であると考えられる。今年度は論文の完成、投稿までには至らなかったものの、今後研究を継続・発展させていく上での大きな知見を得ることが出来た。
上記の理由から本研究は「おおむね順調に進展している」と判断した。
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| 今後の研究の推進方策 |
次年度以降も、当初の計画および今年度の研究で得られた知見を基に研究を遂行していく予定である。平之内氏との共同研究、坂内氏らとの共同研究を引き続き継続して行う他、ガロア変形の岩澤理論や非可換岩澤理論の精密化に関する研究、Kolyvagin導分の計算に関する研究等も順次遂行する予定である。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
今年度は新型コロナウイルスの流行により、全く出張を行うことが出来なかった。更に、研究室に立ち入ることも困難であったため、研究室に置くべき物品の購入も行うことが出来なかった。この差額は次年度以降の物品購入および旅費として使用が見込まれている。
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