| 研究課題/領域番号 |
20K14304
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
鮑 園園 東京大学, 大学院数理科学研究科, 助教 (00710823)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | Alexander多項式 / Kirby移動 / 三次元多様体の不変量 / gl(1|1) |
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| 研究実績の概要 |
Heegaard Floerホモロジーは3次元多様体や結び目の位相不変量として知られている．この不変量の量子トポロジー的な意味を解明するのが本研究の主な目的である．三価空間グラフは，量子トポロジーにおいて，様々なところで重要な役割を担っている．今まで三価空間グラフのHeegaard Floerホモロジーのオイラー標数，つまり三価空間グラフのAlexander多項式について，様々な側面から研究してきた．（一部はZhongtao Wu氏との共同研究）．
今年度，三価空間グラフのAlexander多項式のある種の一次結合が三次元多様体の不変量になることを証明した（伊藤昇氏との共同研究）．この多項式は超リー代数gl(1|1)の量子展開環の既約表現を利用して構成することができる．私たちはgl(1|1)の量子展開環の部分代数であるU^1の既約表現に生成される圏M_Bを考えた．M_Bに対応するAlexander多項式を利用して\Delta (M, \Gamma, \omega)という量を構成し，そして\Delta (M, \Gamma, \omega)はKirby移動で不変であることを証明した．よって，この量は三次元多様体の不変量になることを言えた．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
任意の閉向き付け可能な3次元多様体Mは3次元球面の中の枠つき絡み目Lに沿った手術で得られる．L がM の手術表現と呼ばれる．同じ3次元多様体の手術表現がKirby 移動と呼ばれる移動で移りあうことができる．枠付き絡み目の不変量のある組み合わせで，Kirby移動で値を変えないものは，３次元多様体の不変量となる．Costantino, Geer とPatureau-Mirandはrelative G-modular 圏という構造を持つ圏に対応する量子不変量から上の方針に従って3 次元多様体の不変量を作れることを示した．彼らの構成は従来のReshetikhin-Turaev不変量の精密化である．
このような３次元多様体の不変量を構成する方法は絡み目のHeegaard Floerホモロジーにも適用可能かについて，現在のところまだ研究されていない．絡み目のHeegaard Floerホモロジーのオイラー標数がAlexander多項式であり，Alexander多項式なら，今年度の研究により，上の方法が適用可能であることを示した．今後，絡み目のHeegaard Floer ホモロジーの直和を利用して3 次元多様体の不変量を構成できるかどうか検討していきたいと考えている．絡み目のHeegaard Floerホモロジーも量子不変量のような振る舞いを持つことを期待している．
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| 今後の研究の推進方策 |
これからの研究について，次の二つの方向性に沿って推進したいと考えている．
まず，超リー代数gl(1|1)の量子展開環の様々な表現を詳しく調べ，特に既約表現と自然表現の交代テンソル積の関係について細かく分析する．それらの表現から構成される量子不変量を利用してCostantino, Geer とPatureau-Mirandの方法で三次元多様体の不変量を構成できるかどうかを検討する．
次に、三次元多様体Mに対し，今年度構成した３次元多様体の不変量\Delta (M, \Gamma, \omega)の性質を調べ、位相的な解釈があるかどうかを検討する．そして、今年度の研究はオイラー標数レベルでの話だったが，ホモロジーのレベルでどのような可能性があるかを考えてみる．つまり，絡み目のHeegaard Floer ホモロジーの直和を利用して3 次元多様体の不変量を構成できるかどうか検討する．もし構成できれば、この不変量と三次元多様体のHeegaard Floerホモロジーとの関係を調べたい．結び目のHeegaard Floerホモロジーと三次元多様体のHeegaard Floerホモロジーについて様々な関係が知られているが，量子トポロジーのアプローチで両者の関係を調べるのがまだ知られていない．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
次年度使用額が生じた理由：コロナ禍の中、予定していた研究訪問や国際会議の参加を実行できず、旅費の支出ができませんでした。
使用計画：翌年度分として請求した助成金と合わせて次のように使用する予定である。物品費：本と研究で使うソフトウェアーの購入。旅費：海外出張できるようになったら、アメリカの大学や研究所を訪問したい。
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