| 研究実績の概要 |
各点で点対称と呼ばれる変換が定義されているリーマン多様体をリーマン対称空間という. リーマン対称空間は球面やグラスマン多様体, 双曲空間などを例として含んでおり, 微分幾何学において重要な研究対象である. また全測地的部分多様体とは測地線の概念を一般化したものである. 「真直ぐなものを考える」という意味で, 全測地的部分多様体は最も基本的な部分多様体のクラスの一つである.
本研究課題ではディンキン指数と呼ばれる不変量を定義し, 応用することによりリーマン対称空間内の部分多様体の分類問題に取り組むものである.当該年度においてはリーマン対称空間内の全測地的部分多様のディンキン指数の整数性の証明についての整備および不連続群との関係についての調査を行った.
全測地的部分多様体の Dynkin 指数の整数性については, これまでにルート系を用いた代数的な証明が得られていたが, 当該年度の研究により,より幾何学的なアイディアを用いた証明が得られた(論文準備中).
また対称空間に離散群が不連続に作用するとき, 特定の全測地的部分多様体が``きれいに巻き付く''ための必要十分条件を整理した. これは「擬リーマン簡約型等質空間上のクリフォード・クライン形」の研究としてよく知られている小林俊行の固有性判定定理を別の視点から読み替えたものになっている(論文準備中). さらに対称空間に作用している離散群の群コホモロジーと考えている全測地的部分多様体の次元の関係についても調査を行った.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
当該年度の研究計画として予定していたディンキン指数の幾何学的考察については概ね満足のいく形で調査を行うことができた. また不連続群との関係についても調査を行うことができたため, 研究そのものの進展としては順調である.
しかし, 当該年度においてはコロナ禍のため研究以外で予期せぬ形で時間をとられる場面が多く, なかなか論文執筆など時間が必要な作業に集中することが難しく, また参加を予定していた研究集会も軒並み中止となり, 研究発表や論文投稿には至らなかった.
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