リーマン対称空間における全測地的部分多様体のディンキン指数を用いた研究

2022 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 20K14310
• 研究機関: 広島大学
• 研究代表者: 奥田 隆幸 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 准教授 (40725131)
• 研究期間 (年度): 2020-04-01 – 2024-03-31
• キーワード: リーマン幾何 / 等質空間 / 全測地的部分多様体

研究実績の概要

各点で点対称と呼ばれる変換が定義されているリーマン多様体をリーマン対称空間という. リーマン対称空間は球面やグラスマン多様体, 双曲空間などを例として含んでおり, 微分幾何学において重要な研究対象である. また全測地的部分多様体とは測地線の概念を一般化したものである. 「真直ぐなものを考える」という意味で, 全測地的部分多様体は最も基本的な部分多様体のクラスの一つである.
本研究課題ではディンキン指数と呼ばれる不変量を定義し, 応用することによりリーマン対称空間内の部分多様体の分類問題に取り組むものである.前年度までに既約リーマン対称空間内の全測地的部分多様のディンキン指数の整数性の代数的な証明および幾何学的な証明が得られていた. また擬リーマン対称空間上の不連続群についての小林固有性判定定理との関連についても調査を行っていた.当該年度の研究においては全測地的部分多様体のディンキン指数の整数性について代数的証明をまとめているところである(論文投稿予定). また不連続群については距離空間の言葉を用いて小林固有性判定定理に別証明を与えることに成功した(arXiv:2304.14101).

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

ディンキン指数の整数性については代数的な証明をまとめているところである. また不連続群との関連性については距離空間の言葉で小林固有性判定定理が説明できるようになり, 大幅に研究が進展したと言える.

今後の研究の推進方策

ディンキン指数を用いた対称空間内の全測地的部分多様体の分類について引き続き研究を推進する予定である. また前年度までに行っていた不連続群と全測地的
部分多様体の関係についても引き続き調査を進める.

次年度使用額が生じた理由

コロナ禍のため研究集会への出席を見送ったものもあり, 当初計画の予算からずれが生じたため使用額が計画と異なる形となった. 2023年度の使用計画としては国際研究集会への参加旅費などとする予定である.

研究成果

• [雑誌論文] Explicit construction of exact unitary designs (2022)
  • 著者名/発表者名: Bannai Eiichi、Nakata Yoshifumi、Okuda Takayuki、Zhao Da
  • 雑誌名: Advances in Mathematics 巻: 405 ページ: 108457～108457
  • DOI: 10.1016/j.aim.2022.108457
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] On the spectrum and linear programming bound for hypergraphs (2022)
  • 著者名/発表者名: Cioaba Sebastian M.、Koolen Jack H.、Mimura Masato、Nozaki Hiroshi、Okuda Takayuki
  • 雑誌名: European Journal of Combinatorics 巻: 104 ページ: 103535～103535
  • DOI: 10.1016/j.ejc.2022.103535
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] A commutativity condition for subsets in quandles -- a generalization of antipodal subsets (2022)
  • 著者名/発表者名: Akira Kubo, Mika Nagashiki, Takayuki Okuda, Hiroshi Tamaru
  • 雑誌名: Differential Geometry and Global Analysis: In Honor of Tadashi Nagano 巻: - ページ: 103--125
  • DOI: 10.1090/conm/777
  • 査読あり
• [学会発表] 等質空間上の固有な作用について (2023)
  • 著者名/発表者名: 奥田隆幸
  • 学会等名: 広島・岡山 代数学セミナー
  • 招待講演
• [学会発表] Split Dynkin indices for homomorphisms between real simple Lie algebras (2022)
  • 著者名/発表者名: 奥田隆幸
  • 学会等名: 2022年度RIMS共同研究(公開型)「表現論とその周辺分野における諸問題」
• [学会発表] (t,m,s)-nets and profinite association schemes (2022)
  • 著者名/発表者名: 梶浦大起, 松本眞, 小川健翔, 奥田隆幸 (講演は奥田)
  • 学会等名: トポロジーとコンピュータ 2022
  • 招待講演
• [学会・シンポジウム開催] Geometry, Analysis, and Representation Theory of Lie Groups In honour of Prof. Toshiyuki Kobayashi's birthday (2022)